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本文算法均使用python3实现
1. 决策树
决策树（decision tree）是一种基本的分类与回归方法（本文主要是描述分类方法），是基于树结构进行决策的，可以将其认为是if-then规则的集合。一般的，一棵决策树包含一个根节点、若干内部节点和若干叶节点。其中根节点包含所有样本点，内部节点作为划分节点（属性测试），叶节点对应于决策结果。
用决策树进行分类，是从根节点开始，对实例的某一特征进行测试，根据测试结果，将实例分配到其子节点，若该子节点仍为划分节点，则继续进行判断与分配，直至将实例分到叶节点的类中。
若对以上描述不太明白，可以结合以下图进行理解。
以上是由决策树来进行分类的过程。而决策树的学习（构建）通常是一个递归地选择最优特征的过程。那么构建决策树时如何**选择特征作为划分点**（即选择哪个特征作为根节点或者选择哪个特征作为非叶子节点）？当训练数据量大、特征数量较多时构建的**决策树可能很庞大**，这样的决策树用来分类是否好？
由这些问题我们可以知道，构建决策树的三个要点： （1）特征选择 （2）决策树的生成 （3）决策树修剪
2. ID3算法
基于ID3算法的决策树构建，其选择特征的准则是信息增益。信息增益（information gain）表示得知特征 $ X $ 的信息而使得类 $ Y $ 的信息的不确定性减少的程度。也就是说，信息增益越大，通过特征 $ X $ ，就越能够准确地将样本进行分类；信息增益越小，越无法准确进行分类。
在介绍信息增益之前，我们需要先对熵进行一下讲解。
2.1 熵（Entropy）
熵是度量样本集合纯度最常用的一种指标，它是信息的期望值。我们首先了解一下什么是信息。由《机器学习实战》中定义：
如果待分类的事务可能划分在多个分类之中，则符号（特征） $ k $ 的信息定义为： $$ l(k)=-log_2{p(k)} $$
其中 $ p(k) $ 为选择该分类的概率。
而熵计算的是所有类别所有可能值包含的信息期望值，其公式为：$$ Ent(D)=-sum_{k=1}^N{p(k)log_2{p(k)}} $$
其中 $ N $ 为类别个数。
现在我们使用例子，来理解熵的计算：
其中 $ D_1 $ 包含样本 $ {1,4,6,10,13,17} $ ,其中类别为好瓜的比例为 $ p_1=frac{3}{6} $ ，坏瓜的比例为 $ p_2=frac{3}{6} $ ； $ D_2 $ 包含样本 $ {2,3,7,8,9,15} $ ,其中类别为好瓜的比例 $ p_1=frac{4}{6} $ ，坏瓜的比例为 $ p_2=frac{2}{6} $ ； $ D_3 $ 包含样本 $ {5,11,12,14,16} $ ,其中类别为好瓜的比例 $ p_1=frac{1}{5} $ ，坏瓜的比例为 $ p_2=frac{4}{5} $ ,因此其三个分支点的信息熵为：$$ Ent(D_1) = - ( frac{3}{6}log_2frac{3}{6} + frac{3}{6}log_2frac{3}{6})=1.000 $$ $$ Ent(D_2) = - ( frac{4}{6}log_2frac{4}{6} + frac{2}{6}log_2frac{2}{6})=0.918 $$ $$ Ent(D_3) = - ( frac{1}{5}log_2frac{1}{5} + frac{4}{5}log_2frac{4}{5})=0.722 $$ ### 2.2 信息增益（information gain） 信息增益，由《统计学习方法》中定义： > 特征 $ a $ 对训练数据集 $ D $ 的信息增益 $ Gain(D,a) $ ,定义为集合 $ D $ 的经验熵（即为熵）与特征 $ a $ 给定条件下的经验条件熵 $ Ent(D|a) $ 之差，即： $$ Gain(D,a)=Ent(D)-Ent(D|a) $$ 其中特征 $ a $ 将数据集划分为： $ {D_1,D_2,...,D_v } $,而经验条件熵为： $$ Ent(D|a) = sum_{i=1}^v frac{left|D_i ight|}{left|D ight|}Ent(D_i)$$
我们根据例子对其进行理解：
对于特征“色泽”，我们计算其信息增益，由2.1中，集合 $ D $ 的熵为： $ Ent(D)=0.998 $ ，对于特征“色泽”的三个分支点的熵为： $ Ent(D_1)=1.000，Ent(D_2)=0.918，Ent(D_3)=0.722 $，则“色泽”特征的信息增益为：
2.3 算法步骤
ID3算法递归地构建决策树，从根节点开始，对所有特征计算信息增益，选择信息增益最大的特征作为节点的特征，由该特征的不同取值建立子节点；再对子节点递归地调用以上方法构建决策树；知道所有特征的信息增益均很小或者没有特征可以选择为止。最后得到一个决策树。
在算法中（C4.5也是），有三种情形导致递归返回：
（1）当前节点包含的样本全属于同一类别，无需划分。
（2）当前属性集为空，或是所有样本在所有属性上取值相同，无法划分。（此时将所含样本最多的类别设置为该叶子节点类别）
（3）当前节点包含的样本集合为空，不能划分。（将其父节点中样本最多的类别设置为该叶子节点的类别）
输入：训练数据集 $ D $ ,特征集 $ A $ , 阈值 $ epsilon $ ;
过程：函数 $ TreeGenerate(D,A) $ .
1：计算节点信息增益 $ Gain(D,a) $ :
2： 节点a的熵： $ Ent(D,a) $
3： 节点D的熵： $ Ent(D) $
4： 节点信息增益： $ Gain(D,a)=Ent(D)-Ent(D,a) $
5：生成节点node:
6：if $ D $ 中样本全属于同一类别 $ C $ then
7： 将node标记为 $ C $ 类叶节点；return
8：end if
9：if $ A = emptyset $ OR $ D $ 中样本在 $ A $ 上取值相同then
10： 将node标记为叶节点，期类别标记为 $ D $ 中样本数最多的类；return
11：end if
12：按照节点信息增益，从 $ A $ 中选择最优划分属性 $ a_* $
13：for $ a_* $ 中的每一个值 $ a_* ^i $ do
14： 为node生成一个分支；令 $ D_i $ 表示 $ D $ 中在 $ a_* $ 上取值为 $ a_* ^i $ 的样本子集；
15： if $ D_i $ 为空，then
16： 将分支节点标记为叶节点，其类别标记为 $ D $ 中样本最多的类；return
17： else
18： 以 $ TreeGenerate(D_i,A / { a_* }) $ 为分支节点
19： end if
20：end for
输出：以node为根节点的一棵决策树
3. C4.5算法
实际上，信息增益准则对可取值书目较多的属性有所偏好，例如如果将前面表格中的第一列ID也作为特征的话，它的信息增益将达到最大值，而这样做显然不对，会造成过拟合。为了减少这种偏好可能带来的不利影响，C4.5算法中将采用信息增益比来进行特征的选择。信息增益比准则对可取值数目较少的属性有所偏好。接下来，我们首先对信息增益比进行介绍。
3.1 信息增益比（增益率）
信息增益比的定义为： $$ Gain_ratio(D,a)=frac{Gain(D,a)}{IV(a)} $$，
其中：$$ IV(a)=-sum_{i=1}^v frac{left|D_i
ight|}{left|D
ight|} log_2frac{left|D_i
ight|}{left|D
ight|} $$
我们根据例子对其进行理解：
对于特征“色泽”，我们计算其信息增益比，由2.2计算得 $ Gain(D,色泽)= 0.109 $，而 $$ IV(色泽)= -(frac{6}{17} imeslog_2frac{6}{17} + frac{6}{17} imeslog_2frac{6}{17} + frac{5}{17} imeslog_2frac{5}{17})=1.580 $$
则 $ Gain\_ratio(D,色泽)=frac{0.109}{1.580}=0.069 $。
3.2 算法步骤
C4.5算法同ID3算法过程相似，仅在选择特征时，使用信息增益比作为特征选择准则。
输入：训练数据集 $ D $ ,特征集 $ A $ , 阈值 $ epsilon $ ;
过程：函数 $ TreeGenerate(D,A) $ .
1：计算节点信息增益比 $ Gain_ratio(D,a) $ :
2： 节点a的熵： $ Ent(D,a) $
3： 节点D的熵： $ Ent(D) $
4： 节点信息增益： $ Gain(D,a)=Ent(D)-Ent(D,a) $
5： 节点固定值： $ IV(a) $
6： 节点信息增益比： $ Gain _ ratio(D,a)= frac{Gain(D,a)}{IV(a)} $
7：生成节点node:
8：if $ D $ 中样本全属于同一类别 $ C $ then
9： 将node标记为 $ C $ 类叶节点；return
10：end if
11：if $ A = emptyset $ OR $ D $ 中样本在 $ A $ 上取值相同then
12： 将node标记为叶节点，期类别标记为 $ D $ 中样本数最多的类；return
13：end if
14：按照节点信息增益，从 $ A $ 中选择最优划分属性 $ a_* $
15：for $ a_* $ 中的每一个值 $ a_* ^i $ do
16： 为node生成一个分支；令 $ D_i $ 表示 $ D $ 中在 $ a_* $ 上取值为 $ a_* ^i $ 的样本子集；
17： if $ D_i $ 为空，then
18： 将分支节点标记为叶节点，其类别标记为 $ D $ 中样本最多的类；return
19： else
20： 以 $ TreeGenerate(D_i,A / {a_* }) $ 为分支节点
21： end if
22：end for
输出：以node为根节点的一棵决策树
4. 剪枝处理
针对于在第1部分提到的最后一个问题：当训练数据量大、特征数量较多时构建的决策树可能很庞大，这样的决策树用来分类是否好？答案是否定的。决策树是依据训练集进行构建的，当决策树过于庞大时，可能对训练集依赖过多，也就是对训练数据过度拟合。从训练数据集上看，拟合效果很好，但对于测试数据集或者新的实例来说，并不一定能够准确预测出其结果。因此，对于决策树的构建还需要最后一步----即决策树的修剪。
决策树的修剪，也就是剪枝操作，主要分为两种：
（1）预剪枝（Pre-Pruning）
（2）后剪枝（Post-Pruning）
接下来我们将详细地介绍这两种剪枝方法。
4.1 预剪枝（Pre-Pruning）
预剪枝是指在决策树生成过程中，对每个节点在划分前先进行估计，若当前节点的划分不能带来决策树泛化性能的提升，则停止划分并将当前节点标记为叶节点。
我们使用例子进一步理解预剪枝的过程：
将本文开始的西瓜数据集表划分成两部分，一部分作为训练集用来构建决策树，一部分作为验证集用来进行决策树的剪枝。具体划分见下图：
**可有由图中看出，该决策树有点过于简单，虽然降低的过拟合的风险，但是由于其基于“贪心”的本质禁止了其它分支的展开，给预剪枝决策树带来了欠拟合的风险。** ### 4.1 后剪枝（Post-Pruning） **后剪枝**是指先从训练集生成一棵完整的决策树，然后自底向上地对非叶节点进行考察，若将该节点对应的子树替换为叶节点能带来决策能力的提升，则将该子树替换成叶节点。 我们使用例子进一步理解后剪枝的过程： 同样适用4.1中的划分数据集。针对已建立好的决策树，我们首先对“纹理”特征节点进行处理，判断其是否需要剪枝，见下图。
**后剪枝决策树通常比预剪枝决策树保留了更多的分支，一般情况下，后剪枝决策树欠拟合的风险很小，其泛化能力往往优于预剪枝预测数。但由于其是基于创建完决策树之后，再对决策树进行自底向上地剪枝判断，因此训练时间开销会比预剪枝或者不剪枝决策树要大。**
引用及参考：
[1]《机器学习》周志华著
[2]《统计学习方法》李航著
[3]《机器学习实战》Peter Harrington著
写在最后：本文参考以上资料进行整合与总结，属于原创，文章中可能出现理解不当的地方，若有所见解或异议可在下方评论，谢谢！
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