一道轻松的练习题

Description

求

f (n) = \sum 0 \leq k < n H k ( k + 1 ) ( k + 2 )

的封闭形式。

利用裂项转化：

f (n) = \sum 0 \leq k < n H k (1 k + 1 - 1 k + 2)

注意到：

- Δ 2 (H k) = 1 k + 1 - 1 k + 2

则只要求不定和式

- \sum H k Δ 2 (H k)

利用分部求和公式：

- (H k Δ H k - \sum Δ (H k + 1) Δ (H k))

化简后得到

- (H k k + 1 - \sum 1 ( k + 1 ) ( k + 2 ))

用阶乘幂表示并化简

- H k + 1 k + 1

根据有限微积分基本定理：

f (n) = g (n) - g (0) = k - H k k + 1

突然感觉具体数学上的技术还是非常好用的【当然可能是这个题恰好好用】…

来源：《具体数学》