第六章-总体与样本

总体: 研究事物的总体

个体: 全体事物中的单个,叫做个体

有限总体: 总体时有限个.

无限总体: 熊踢无限个.

样本: 从总体中抽样(X1,...Xn),观测值(x1,...xn)

统计量的定义: 不含任何未知参数的样本的函数(以下X'都表示均值)

• x1 + x2 + ...+xn
• 均值: X' = 1/nΣ_i=1ⁿXi
• 未修正的样本方差: S₀² = 1/nΣ_i=1ⁿ(Xi-X')
• 样本的方差: S² = 1/(n-1)Σ_i=1ⁿ(Xi-X')²
• 样本的标准差: S = (1/(n-1)Σ_i=1ⁿ(Xi-X')² )^½
• 样本K阶原点距: A^k = 1/nΣ_i=1ⁿX_i^k   A1 = X'
• 样本K阶中心距: Bk = 1/nΣ_i=1ⁿ(Xi-X')^k  B₂ = S₀²

两个样本的协方差: 

• S₁₂ = 1/nΣ(Xi-X')(Yi-Y')
• 相关系数: R = S₁₂/S₁S₂

样本均值和样本方差的性质:

• 设总体X的均值未EX = μ, 方差为DX = σ2, 样本(X1,X2,...,Xn)来自总体X, 则:
  • EX' = μ
  • DX' = 1/nσ²
  • E(S)² = σ²

抽样分布(统计量分布):

• 卡方分布: 
  • 定理: X1,...Xn相互独立, 服从标准正太分布N(0,1)  Σ_i=1ⁿx_i² ~ X²(n), 自由度是由前边变量的个数决定的
  • EX = n,   DX = 2n
  • 定理: X~ X²(n),  Y ~ X²(n),, X,Y均服从卡方分布, 且X,Y相互独立,则X+Y ~ X²(m+n)
  • 推论: X_i ~ X²(m_i), X_i之间相互独立, Σ_i=1ⁿX_i ~ X²(Σ_i=1ⁿm_i)
• 上α分位数: 
  • P (X² > X²_α(n)) = α
    • α就是点, X²_α :这的α是概率

t分布: 

• 定理: X ~ N(0,1)服从正太分布, Y ~ X²(n)服从卡方分布, X,Y独立, 则X/(Y/n)^½ ~ t(n)

F分布:

• 定理: X ~ X²(n₁), Y ~ X²(n₂), X,Y均服从卡方分布, 且相互独立, 则(X/n₁)⁄(Y/n₂) = F(n₁, n₂)
• F(n1, n2) = 1/(F(n2, n1))

正太总体下的抽样分布

• 定理: X ~ N(μ,σ2)的正态分布, {X1, ...Xn}样本
  • X' ~ N(μ, σ²/n)
  • (X' - μ)/(σ/n^½ )= (X' - μ)/σn^½ ~ N(0,1)
  • EX = μ
  • DX = σ²/n
  • (n-1)s²/σ² = 1/σ² = 1/σ²Σ_i=1ⁿ(xi - x')² ~ X²(n-1)  (卡方分布)
  • X' 与S²相互独立
• 1/σ2Σ_i=1ⁿ(Xi-μ)² ~ X²(n)
• (X' - μ)/Sn^½ ~ t(n-1)
• 两个正太总样本: X ~ N(μ₁, σ₁²),  Y ~ N(μ₂, σ₂²)
  • [(X'-Y') - (μ1 - μ2)] / (σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)^½ 
  • (S₁²/σ₁²)/(S₂²/σ₂²) ~ F(n₁-1, n₂-1)