第二章-随机变量分布

随机变量的概念: 对于Ω, X=X(ω), 实值函数

连续型随机变量及其概率密度函数

频数: 出现的次数
定义: X的取值实某个区间的实数, 若存在非负可积函数f(x), f使得(x)≥0, 都有a≤b, P{a<x≤b}=∫_a^bf(x)dx x:连续, f(x)叫做概率分布密度函数
- f(x)≥0)
- ∫_-∞^+∞f(x)=1
- 连续性随机变量取个别值的概率为0
连续性, 端点无所谓
- P{a≤x≤b}=P{a≤x<b}=P{a<x≤b}=P{a<x<b}
- P{x<a}=P{x≤a}
- P{x>a}=P{x≥a}
- 概率为0的事件未必实不可能事件
- 概率为1的事件也未必是必然事件

分布函数:对离散型,连续性都成立

分布函数F(x)=P(X≤x), 分布函数就是随机变量的取值不超过x的概率, 事一个普通的实函数
性质1: 0≤F(x)≤1, x€(-∞, +∞)
分布函数F(x),是不减函数, x1<x2, F(x1)<F(x2)
- lim_x→+∞F(x)=F(+∞)=1
- lim_x→-∞F(x)=F(-∞)=0
F(x)右连续
- 离散性: 右连续
- 连续性: 左右都连续
公式: F(x)=P(X≤x) (对离散性, 连续性, 都成立)
- P{X≤a}=F(a)
- P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a)
- P{a<X<b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)
- P{X=a}=F(a)-F(a-0)
- P{a≤X≤b}=F(b)-F(a-0)
- P{X<a}=F(a-0)
- P{X≥a}=1-F(a-0)

分布函数→概率

常见随机变量的分布:

几何分布:
- P(A)=p, 第k次首次发生, 前k-1次未发生, P{X=k}=(1-p)^k-1p X~G(p)
二项分布:
- P(A)=p, n次试验, 发生了k次, 所以公式:
  - P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^n-k
  - 知道k求概率
泊松分布:
- P{X=k}=(λ^k)/(k!)e^-λk = 0,1,2,3,... λ>0, X~P(λ)
- 知道概率, 求k
超几何分布:
- N个元素: N1个属于第一类, N2个属于第二类, 取n个, X:n个属于第一类的个数
  - P{X=k}=C_N1^kC_N2^n-k/C_Nⁿ k=0,1,2,3,...
  - 超几何分布可以描述不放回的抽样实验, 当N很大时, n相对与N影响很小,
    - P = {X=k}=C_M^kC_N-M^n-k/C_Nⁿ≈ C_n^kp^k(1-p)^n-k
二项分布: n≥100, np≤10, 用泊松分布近似计算λ=np
超级几何分布: (N大, n/N小)→二项分布→泊松分布(近似)

连续型分布:

正态分布:

标准正态分布:

当μ=0, σ=1, Φ₀(x)=1/[(2π)^1/2]e-(x²/2) -∞<x<+∞
性质1: y轴是对称轴, 偶函数 Φ₀(x) = Φ₀(-x) Φ₀(-x)=1-Φ₀(x)
一般正态分布→标准正态分布
- Φ(x)=Φ₀[(x-μ)/σ]
- eg: X~N(1,4)服从一般正态分布, 求P{0<X<1.6}的概率
  - 因为X~N(1,4)服从一般正太分布, 所以 μ=1, σ=2
  - P{0<X<1.6}=Φ(1.6)-Φ(0)=Φ₀[(1.6-1)/2] - Φ₀[(0-1)/2] = Φ₀(0.3)-Φ₀(-0.5)=Φ₀(0.3)-(1-Φ₀(0.5))
上分位数:
- X~N(0,1)服从一般正态分布, 给定α(0<α<1), 找出μ_α, P{X>μ_α}, 此时μ_α叫做上分位数

随机变量函数的分布:

X	1	0
P	p	1-p