有解判定
- 系数矩阵: 降方程组的系数用矩阵表示出来, 将方程组右边的值也放到矩阵中,叫做增广矩阵.用r(Ã)表示增广矩阵的秩
- 当r(A)=r(Ã), 有解
- r(A)=r(Ã)=n, 唯一解
- r(A)=r(Â)<n, 无穷多解
- 当r(A)≠r(Ã),无解
- 步骤:
- 写出增广矩阵Ã
- 只对行做初等变换, 化为阶梯形
- 看矩阵和增广矩阵的秩是否相等,
- r(A):矩阵的秩等于阶梯形中虚线左边非零行的行数
- r(Ã): 增广矩阵的秩等于虚线右边非零行的行数
- 当r(A)和r(Ã)相等, 且等于未知量的个数, 有唯一解
- 当r(A)和r(Ã)相等, 且小于未知量各个数, 有无穷解
- 当r(A)和r(Ã)不想等, 则无解
- 化行维阶梯形, 不管零行, 非零行的首非零元(1)留在方程的左边, 其余变量都挪到右边, 得到一般解的方程组
齐次方程(方程组右边全是0):
- r(A)=r(Ã)=n有我唯一零解
- r(A)<n, 有非零解
- 方程个数<未知数个数, 有非零解, r(A)≤min{m,n}=m<n
- 方程的个数=未知量个数, 有非零解↔|A|=0↔r(A)<n↔A不可逆
- 只有零解↔|A|≠0↔A可逆↔r(A)=n
- 齐次线性方程组, Ax=0
- η1和η2是Ax=0的解 则η1+η2也是解, A(η1+η2)=Aη1+Aη2+0+0=0
- η是Ax的解, cη也是解, A(Cη)=CAη=C·0=0
- 基础解系:
- 接触解解向量线性无关
- 任意解, 可由基础解表示
非齐次线性方程组:
- Ax = b→Ax=0是导出组
- α1,α2是Ax=b的解, α1-α2是Ax=0的解, A(α1-α2)=Aα1-Aα2=b-b=0
- α0是Ax=b的解, η是Ax=0的解, α0+η是Ax=b的解, 则A(α0+η)=Aα0+Aη=b+0=b
非齐次线性方程组解的结构
- α0是Ax=b的一个解(特解), η是Ax=0的通解, η=c1η1+c2η2 + ...+cn-rηn-r, η1,η2,...ηn-r是Ax=0的基础解系
- 解齐次方程组的步骤:
- 写出非齐次方程组, 只对行做基本初等变换, 化作行简化形
- 非零行的首非零元素的1, 留在左边, 其余挪到右边, 写出非齐次的同解方程组, 指出谁是自由未知量(不在左边的是自由未知量)
- 令自由未知量均取0, 得Ax=b的一个特解
- 零同解方程组右边常数项均为0, 得Ax=0的同解方程组,指出谁是自由未知量, 令自由未知量依次取基础解, 得Ax=0的基础解系
- 特解+Ax=0的基础解系的组合