第二章-矩阵

矩阵(Martix)的概念

• 数按照标的形式排列构成矩阵, m x n的矩阵, m:行数, n:列数, a_ij: 元素, 记作: A_mxn.

行列式和矩阵的区别:

　　

	行列式	矩阵
本质	一个数	数表
符号	|  |	( ),  [ ]
形状	行数=列数(方的)	行数≠or= 列数

实矩阵: 矩阵中全是实数.

复矩阵: 矩阵中全部是复数的叫做复矩阵

负矩阵: 矩阵中的元素都乘以-1, 构成的矩阵角左负矩阵

n阶方阵: 行数=列数

单位阵: 主对角线全是1,其余全是0的矩阵, 叫做单位阵, 记作: E或者I

同型矩阵: 2个矩阵的行数和列数对应相等, 当同型矩阵的对应元素也相等,这2个矩阵也相等, 2个矩阵相等的前提是同型矩阵

矩阵的运算

• 矩阵的运算: 对应位置相加即可(同型矩阵)
• 矩阵的减法: 对应位置相减即可(同型矩阵)
• 矩阵的数乘运算: 一个数字乘以矩阵=矩阵的每个元素都乘以这个数
  • 提公因子:矩阵所有元素均有公因子, 公因子外提一次
  • 行列式提公因子: 一行提一次, 所有元素均有,外提n次 
  • 乘法分配率: k(A+B) = kA + KB (其中, K为常数, A,B为矩阵), 也有: (K+L)A = KA + LA, (其中, K,L为常数, A为矩阵)
  • 前提条件: 
    • 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
  • 结果矩阵的形状:
    • 结果行数 = 第一个矩阵的行数
    • 结果列数 = 第二个矩阵的列数
  • 口诀L中间相等, 取两头
• 　　矩阵乘法不满足的规律
  • AB ≠ BA, AB有意义的时候, BA不一定有意义, (其中AB都是矩阵), AB(是指A左乘B, 或者B右乘A)
  • AB = 0, 是不能推出来, A=0, B=0.(A,B均为矩阵)
  • AB = AC, A≠0推不出, B=C
  • 零矩阵和任何矩阵相乘结果都是零矩阵
  • 矩阵与单位矩阵(E)相乘,结果还是原矩阵, 即: AE = A, EB = B (单位矩阵:主对角线全是1)
  • 矩阵乘法的结合律:
    • (ab)c = A(BC)
  • 矩阵乘法的分配律:
    • (A+B)C = AC+BC, C(A+B) = CA+CB     K(AB) = (KA)B = A(KB)
• 注意: 乘法遵循相乘的矩阵顺序不改变, 不论是交换律还是分配律.

矩阵的幂

• A^k = A A A A ...A (k个A(矩阵)相乘), 特别的, 当A⁰ = E(单位矩阵)
• 性质1: 
  • A^k1× A^k2 = A^k1+k2,  (A^k1)^k2 = Ak1k2
  • • (AB)^K ≠ A^KB^K (A的型为方阵)
• 性质2: 
  • (AB)^K≠ A^KB^K

矩阵的转置

• 一个矩阵的转置,就是将原来的行变成列, 即A_m×n = (A^T)_n×m, (A为矩阵)
• 性质1: (A^T)^T = A
• 性质2: (A+B)^T = A^T+ B^T
• 性质3: (KA)^T = KA^T
• 性质4: (AB)^T = B^TA^T

特殊矩阵(都是方阵):

• 数量矩阵: 主对角线全是常数, 其余全是0的矩阵
  • 数量矩阵的size运算后还是数量矩阵
  • (aE)B = B(aE) = aB
• 对角形矩阵: 主对角线上的数不一样
  • 可表示为: diag(a₁,a₂,a₃,a₄)
• 上三角矩阵
  • 主对角线之下的元素都是0的矩阵叫做上三角矩阵
• 下三角矩阵
  • 主对角线的上方全是0的矩阵叫做下三角矩阵
• 对称矩阵:
  • 主对角线的上下元素对应相等, 就叫做对称矩阵(a_ij=a_ji)
  • 性质: A^T = A
  • 性质: (A+B)^T = A^T + B^T = A+B
  • 性质: (A-B)^T = A^T -B^T = A-B
  • 性质: (KA)^T = KA^T = KA
  • 性质: (AB)^T = B^TA^T = BA ≠AB
  • 定理1: A,B对称, AB对称↔AB可交换

反对称矩阵

• 以主对角线为轴, 上下对应位置元素互为相反数,即: a_ij = -a_ji, (主对角线的元素全是0, 对称矩阵的主对角线没有要求)
• 性质: A^T = -A 

逆矩阵(以下的A皆矩阵)

• 定义: 设A为n阶方阵, 存在方阵B, 使得AB=BA=E, 因此围殴们称B为方阵A的逆矩阵, 记作: A^-1 = B
  • 未必所有方阵均可逆
  • 若可逆, 逆矩阵唯一, A的逆矩阵是B₁和B₂,其实B₁=B₂, B₂A=B₁A=E, AB₂=B₂A=E, B₁=B₂
• 性质1: |A^T| = |A|  (行列式转置, 行列式的值不变)
• 性质2: |KA| = Kⁿ|A|
• 性质3: |AB| = |A|·|B|
• 性质4: 如果矩阵A可逆, 则A^-1可逆, (A^-1)^-1=A
• 性质5: 如果矩阵AB均可逆, AB可逆, 则(AB)^-1 = B^-1A^-1, (AB)^-1 = B^-1A^-1 = AA^-1=E  (AB)^T=B^TA^T
• 性质6: 如果A可逆, A^T可逆, 则, (A^T)^-1=(A^-1)^T, 特别的, 当k≠0, (KA)^-1=(1/K)A^-1
• 性质7: 如果A可逆, |A^-1| = |A|^-1 AA^-1 = E, |A||A^-1|=1   |A^-1| = (1/|A|)=|A|^-1
• 性质8: 如果A可逆, A^*也可逆, (A*)^-1 = (1/|A|)A
• 定理: 矩阵A可逆的充条件|A|≠0, A^-1 = (1/|A|)·A*
• 推论: A为n阶方阵, B为n阶方阵, AB=E(BA=E),则矩阵A可逆, 且A^-1=B
• 求逆矩阵:
  • 伴随矩阵法
  • 初等变换法

伴随矩阵:

• 只有方阵才有伴随矩阵
• 求所有元素的代数余子式
• 按行求代数余子式, 按列放构成矩阵(按行求, 按列放)记作: A^*
• 定理1: A·A^* = A^*·A = |A|·E(任意方阵)
• 推论:  |A^*|=|A|^n-1

分块矩阵:

• 要灵活分, 要求: 横线, 竖线, 一气到头
• 标准形: 从左上角开始一串1(不间断), 标准形不一定是方的
• 分块加法: 和同型矩阵相加一样
• 同型的上三角或下三叫的分块矩阵的和差积商都是分块矩阵
• 分块矩阵求转置(和嵌套函数求导道理类似)
  • 把子块视作单个元素求转置
  • 对每个字块求转置
• H = (^A₀^C_B), 其中A,B都为n阶可逆矩阵, 证:|H| = |^A₀^C_B| = |A||B|, 利用Laplace定理, 取后n行乘以后n行的余子式

矩阵的初等变换:

• 行:
  • 交换两行(eg:第一行和第二行交换位置)
  • 用k(k≠0)乘某一行
  • 某一行的L倍加到另一行上去
• 列:
  • 交换某两列(eg:第一列和第二列交换位置)
  • 用k(k≠0)乘某一列
  • 某一列的L倍加到另一列上
• 任何矩阵通过初等变换为标准形
• 等价: A经过初等变换得到B, A↔B
  • 反身性: A↔B
  • 对称性: A↔B  →   B↔A

初等方阵:

1. 对单位矩阵(E)做一次初等变换(行,列)得到的矩阵叫做初等方阵
   1. 交换两行, E(i,j)
   2. 用k(k≠0)乘某行, E(i(k), k≠0)
   3. 某行的L倍加到另一行上, 记作:E(i,j(k))
2. 三种初等方阵均可逆, 其逆矩阵也是初等方阵
   1. E^-1(i,j) = E(i,j), E^-1(i(k)) = E(i(1/k)), E(i,j(L)) = E(i, j(-L))
3. 初等方阵的转置也会是初等方阵
   1. 初等方阵左乘矩阵A, 相当于对A实施第i行相应的初等变换(eg:比如初等变换第2行乘以3, 则左乘以后的矩阵,相当于A第2行乘以3)
   2. 初等方阵右乘矩阵A, 相当于对A实施第8列相应的初等变换(eg: 和上边同理)
4. 定理3: 任意存在初等函数P₁,P₂...P_S, Q₁,Q₂...Q_t, P_s...P₁AQ₁...Q_t为标准形 
5. 推论: A,B等价↔存在可逆矩阵P,Q, PAQ = B
6. 定理4:矩阵A可逆的充要条件↔ A的标准形为单位阵, 必要性: 
7. 定理5: 如果矩阵A可逆↔矩阵A可以表示为一些初等矩阵的乘积, A= P₁...P_S
8. 做题的注意事项:
   1. 先处理第一列, 再处理第二列, 再第三列...
   2. 写整行,对正行进行操作
   3. 第一列, 处理完后,不在主动进行处理变换
   4. 矩阵做基本初等变换之间用箭头连接
   5. 只做行变换
   6. 不管是否可逆, 如左边化不成单位矩阵(E), 说明矩阵A不可逆

矩阵的秩

• K阶子式: 从一个矩阵中, 取k行, k列, 构成的行列式, 叫做k阶子式(k是取的行数和列数)
• 非零子式的最高阶数: 矩阵的秩, 记作:r, eg: r(A)=5,
  • 特别的r(0) = 0
  • 矩阵: A_mxn 0≤r(A)≤min{m,n}
    
    • 当r(A)=m, 取所有行, 叫做行满秩
    • 当r(A)=n, 取所有列, 叫做列满秩
    • 当r(A)=min{m,n}→满秩
    • 当r(A)=min{m,n}→降秩
    • A是方阵,A是满秩↔A可逆↔|A|≠0
• 定理1: r(A)=r, ↔有一个r阶子式不为0, 所有r+1阶为0

阶梯形矩阵:

• 若有零行, 零行再非零的下边
• 左起, 有非零元素, 左边零个数随行数增加而严格增加
• 画阶梯折线的方法: 横线可夸多个数, 竖线只能一个数

阶梯形:

• 行简化阶梯形: 是阶梯
  • 非零行的首非零原是1
  • 首非零元素所在的其余元素是0
• 三步走: 
  • 画折线
  • 用O画出首非零元素
  • 首非零元素的的列用竖虚线画出
• 非零行的行数等于矩阵的秩
• 初等变换(行列)不改变矩阵的秩
• 性质1: r(A) = r(A^T)
• 性质2: 矩阵乘以可逆矩阵, 秩不变