堆有最大堆和最小堆之分，最大堆就是每个节点的值都>=其左右孩子（如果有的话）值的完全二叉树。最小堆便是每个节点的值都<=其左右孩子值的完全二叉树。
设有n个元素的序列{k1,k2,...,kn},当且仅当满足下列关系时,称之为堆。 
堆的三种基本操作(以下以最大堆为例)：
⑴最大堆的插入
由于需要维持完全二叉树的形态，需要先将要插入的结点x放在最底层的最右边，插入后满 足完全二叉树的特点；
然后把x依次向上调整到合适位置满足堆的性质,例如下图中插入80,先将80放在最后,然后两次上浮到合适位置.
时间：O(logn)。 “结点上浮” 
程序实现:
//向最大堆中插入元素, heap:存放堆元素的数组 public static void insert(List<Integer> heap, int value) { //在数组的尾部添加 if(heap.size()==0) heap.add(0);//数组下标为0的位置不放元素 heap.add(value); //开始上升操作 // heapUp2(heap, heap.size() - 1); heapUp(heap, heap.size() - 1); } //上升，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和父节点的值相交换 public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { //注意由于数值是从下标为1开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 if (index > 1) { //求出父亲的节点 int parent = index / 2; //获取相应位置的数值 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); int indexValue = (Integer) heap.get(index); //如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 if (parentValue < indexValue) { //交换数值 swap(heap, parent, index); //递归调用 heapUp(heap, parent); } } }
⑵删除
操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔,填充这个孔的方法就是，
把最后的叶子的值赋给该孔并下调到合适位置，最后把该叶子删除。
如图中要删除72,先用堆中最后一个元素来35替换72,再将35下沉到合适位置,最后将叶子节点删除。
“结点下沉” 
程序:
/** * 删除堆中位置是index处的节点 * 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔 * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除 * @param heap */ public static void delete(List<Integer> heap,int index) { //把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); //下沉操作 //heapDown2(heap, index); heapDown(heap, index); //把最后一个位置的数字删除 heap.remove(heap.size() - 1); } /** * 递归实现 * 删除堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变 * @param heap 保持堆元素的数组 * @param index 被删除的那个节点的位置 */ public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { //因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 int n = heap.size() - 2; //记录最大的那个儿子节点的位置 int child = -1; //2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 if (2 * index > n) { return; } //如果左右儿子都存在 else if (2 * index < n) { //定义左儿子节点 child = 2 * index; //如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { child++; } }//如果只有一个儿子（左儿子节点） else if (2 * index == n) { child = 2 * index; } if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { //交换堆中的child，和index位置的值 swap(heap, child, index); //完成交换后递归调用，继续下降 heapDown(heap, child); } }
⑶初始化
方法1：插入法：
从空堆开始，依次插入每一个结点，直到所有的结点全部插入到堆为止。
时间：O(n*log(n))
方法2：调整法：
序列对应一个完全二叉树；从最后一个分支结点（n div 2）开始，到根（1）为止，依次对每个分支结点进行调整（下沉），
以便形成以每个分支结点为根的堆，当最后对树根结点进行调整后，整个树就变成了一个堆。
时间：O(n)
对如图的序列,要使其成为堆,我们从最后一个分支结点(10/2),其值为72开始,依次对每个分支节点53,18,36 45进行调整(下沉). 
程序:
/*根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆*/ public static void adjust(List<Integer> heap){ for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--) adjust(heap,i, heap.size()-1); System.out.println("================================================="); System.out.println("调整后的初始堆："); print(heap); } /** * 调整堆，使其满足堆得定义 * @param i * @param n */ public static void adjust(List<Integer> heap,int i, int n) { int child; for (; i <= n / 2; ) { child = i * 2; if(child+1<=n&&heap.get(child)<heap.get(child+1)) child+=1;/*使child指向值较大的孩子*/ if(heap.get(i)< heap.get(child)){ swap(heap,i, child); /*交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整*/ i = child; } else break; } }
(4)最大堆排序
//对一个最大堆heap排序 public static void heapSort(List<Integer> heap) { for (int i = heap.size()-1; i > 0; i--) { /*把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序*/ swap(heap,1, i); adjust(heap,1, i - 1); } }
(5)完整的代码
import java.util.*; /** * 实现的最大堆的插入和删除操作 * * @author You */ public class Heap { /** * 删除堆中位置是index处的值 操作原理是：当删除节点的数值时，原来的位置就会出现一个孔 * 填充这个孔的方法就是，把最后的叶子的值赋给该孔，最后把该叶子删除 * * @param heap * 大顶堆 */ public static void delete(List<Integer> heap, int index) { // 把最后的一个叶子的数值赋值给index位置 heap.set(index, heap.get(heap.size() - 1)); // 下沉操作 // heapDown2(heap, index); heapDown(heap, index); // 节点下沉 // 把最后一个位置的数字删除 heap.remove(heap.size() - 1); } /** * 节点下沉递归实现 删除一个堆中一个数据的时候，根据堆的性质，应该把相应的位置下移，才能保持住堆性质不变 * * @param heap * 保持最大堆元素的数组 * @param index * 被删除的那个节点的位置 */ public static void heapDown(List<Integer> heap, int index) { // 因为第一个位置存储的是空值，不在考虑之内 int n = heap.size() - 2; // 记录最大的那个儿子节点的位置 int child = -1; // 2*index>n说明该节点没有左右儿子节点了，那么就返回 if (2 * index > n) { return; } // 如果左右儿子都存在 else if (2 * index < n) { // 定义左儿子节点 child = 2 * index; // 如果左儿子小于右儿子的数值，取右儿子的下标 if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { child++; } }// 如果只有一个儿子（左儿子节点） else if (2 * index == n) { child = 2 * index; } if ((Integer) heap.get(child) > (Integer) heap.get(index)) { // 交换堆中的child，和index位置的值 swap(heap, child, index); // 完成交换后递归调用，继续下降 heapDown(heap, child); } } // 非递归实现 public static void heapDown2(List<Integer> heap, int index) { int child = 0;// 存储左儿子的位置 int temp = (Integer) heap.get(index); int n = heap.size() - 2; // 如果有儿子的话 for (; 2 * index <= n; index = child) { // 获取左儿子的位置 child = 2 * index; // 如果只有左儿子 if (child == n) { child = 2 * index; } // 如果右儿子比左儿子的数值大 else if ((Integer) heap.get(child) < (Integer) heap.get(child + 1)) { child++; } // 如果数值最大的儿子比temp的值大 if ((Integer) heap.get(child) > temp) { // 交换堆中的child，和index位置的值 swap(heap, child, index); } else { break; } } } // 打印链表 public static void print(List<Integer> list) { for (int i = 1; i < list.size(); i++) { System.out.print(list.get(i) + " "); } System.out.println(); } // 把堆中的a,b位置的值互换 public static void swap(List<Integer> heap, int a, int b) { // 临时存储child位置的值 int temp = (Integer) heap.get(a); // 把index的值赋给child的位置 heap.set(a, heap.get(b)); // 把原来的child位置的数值赋值给index位置 heap.set(b, temp); } // 向最大堆中插入元素 public static void insert(List<Integer> heap, int value) { // 在数组的尾部添加要插入的元素 if (heap.size() == 0) heap.add(0);// 数组下标为0的位置不放元素 heap.add(value); // 开始上升操作 // heapUp2(heap, heap.size() - 1); heapUp(heap, heap.size() - 1); } // 节点上浮，让插入的数和父节点的数值比较，当大于父节点的时候就和节点的值相交换 public static void heapUp(List<Integer> heap, int index) { // 注意由于数值是从小标为一开始，当index = 1的时候，已经是根节点了 if (index > 1) { // 保存父亲的节点 int parent = index / 2; // 获取相应位置的数值 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); int indexValue = (Integer) heap.get(index); // 如果父亲节点比index的数值小，就交换二者的数值 if (parentValue < indexValue) { // 交换数值 swap(heap, parent, index); // 递归调用 heapUp(heap, parent); } } } // 非递归实现 public static void heapUp2(List<Integer> heap, int index) { int parent = 0; for (; index > 1; index /= 2) { // 获取index的父节点的下标 parent = index / 2; // 获得父节点的值 int parentValue = (Integer) heap.get(parent); // 获得index位置的值 int indexValue = (Integer) heap.get(index); // 如果小于就交换 if (parentValue < indexValue) { swap(heap, parent, index); } } } /* 根据树的性质建堆，树节点前一半一定是分支节点，即有孩子的，所以我们从这里开始调整出初始堆 */ public static void adjust(List<Integer> heap) { for (int i = heap.size() / 2; i > 0; i--) adjust(heap, i, heap.size() - 1); System.out.println("调整后的初始堆："); print(heap); } /** * 调整堆，使其满足堆得定义 * * @param i * @param n */ public static void adjust(List<Integer> heap, int i, int n) { int child; for (; i <= n / 2;) { child = i * 2; if (child + 1 <= n && heap.get(child) < heap.get(child + 1)) child += 1;/* 使child指向值较大的孩子 */ if (heap.get(i) < heap.get(child)) { swap(heap, i, child); /* 交换后，以child为根的子树不一定满足堆定义，所以从child处开始调整 */ i = child; } else break; } } // 对一个最大堆heap排序 public static void heapSort(List<Integer> heap) { for (int i = heap.size() - 1; i > 0; i--) { /* 把根节点跟最后一个元素交换位置，调整剩下的n-1个节点，即可排好序 */ swap(heap, 1, i); adjust(heap, 1, i - 1); } } public static void main(String args[]) { List<Integer> array = new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null, 1, 2, 5, 10, 3, 7, 11, 15, 17, 20, 9, 15, 8, 16)); adjust(array);// 调整使array成为最大堆 delete(array, 8);// 堆中删除下标是8的元素 System.out.println("删除后"); print(array); insert(array, 99);// 堆中插入 print(array); heapSort(array);// 排序 System.out.println("将堆排序后:"); print(array); System.out.println("--------------------------------------------------"); List<Integer> array1 = new ArrayList<Integer>(); insert(array1, 0); insert(array1, 1); insert(array1, 2); insert(array1, 5); insert(array1, 10); insert(array1, 3); insert(array1, 7); insert(array1, 11); insert(array1, 15); insert(array1, 17); insert(array1, 20); insert(array1, 9); insert(array1, 15); insert(array1, 8); insert(array1, 16); print(array1); System.out.println("--------------------------------------------------"); array = new ArrayList<Integer>(Arrays.asList(null, 45, 36, 18, 53, 72, 30, 48, 93, 15, 35)); adjust(array); insert(array, 80);// 堆中插入 print(array); delete(array, 2);// 堆中删除80的元素 print(array); delete(array, 2);// 堆中删除72的元素 print(array); } }
转自：http://www.java3z.com/cwbwebhome/article/article1/1362.html?id=4745