1 问题描述

问题描述

有一棵 n 个节点的树，树上每个节点都有一个正整数权值。如果一个点被选择了，那么在树上和它相邻的点都不能被选择。求选出的点的权值和最大是多少？

输入格式

第一行包含一个整数 n 。

接下来的一行包含 n 个正整数，第 i 个正整数代表点 i 的权值。

接下来一共 n-1 行，每行描述树上的一条边。

输出格式

输出一个整数，代表选出的点的权值和的最大值。

样例输入

5
1 2 3 4 5
1 2
1 3
2 4
2 5

样例输出

样例说明

选择3、4、5号点，权值和为 3+4+5 = 12 。

数据规模与约定

对于20%的数据， n <= 20。

对于50%的数据， n <= 1000。

对于100%的数据， n <= 100000。

权值均为不超过1000的正整数。

2 解决方案

本题主要考查动态规划法，核心在于如何构造状态转移方程。

引用参考资料2中讲解：

DP, 用dp[i][0]表示不选择i点时，i点及其子树能选出的最大权值，dp[i][1]表示选择i点时，i点及其子树的最大权值。

状态转移方程:
对于叶子节点 dp[k][0] = 0, dp[k][1] = k点权值
对于非叶子节点i,
dp[i][0] = ∑max(dp[j][0], dp[j][1]) (j是i的儿子)
dp[i][1] = i点权值 + ∑dp[j][0] (j是i的儿子)
最大权值即为max(dp[0][0], dp[0][1])

下面的代码最终运行评分为50分，具体原因：运行超时。不过文末参考资料1中C++代码运行评分为100分（PS：具体理解可以参考文末参考资料1）。看了参考资料1中代码，让我对题意的理解变为：其中输入n-1条表示边的两个数，是具体的第i个顶点和第j个顶点，不是具体顶点的权值；在第一次做的时候，我理解为具体顶点的权值。

具体代码如下：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public int[][] dp = new int[100002][2];   
    public int[][] tree = new int[100002][300];  //tree[i][3] = num表示第i个节点的第3个孩子节点为第num个节点
    /*
     * 参数point1:表示输入的第point1个节点，不是节点权值
     * 参数point2:表示输入的第point2的节点，不是节点权值
     * 说明：由于题目仅仅给出边的说明，并未说明两个节点谁是父母节点，所以以下有两种情形
     */
    public void creatTree(int point1, int point2) {
        int i = 0;
        //当第point1个节点为父母节点时
        while(tree[point1][i] != 0) i++;  //如果第point1个节点已经有孩子了，再增加一个孩子  
        tree[point1][i] = point2;
        int j = 0;
        //当第point2个节点为父母节点时
        while(tree[point2][j] != 0) j++;
        tree[point2][j] = point1;
    }
    /*
     * 参数satrt:开始对树进行DFS遍历的开始节点，为具体节点位置，不是节点权值
     * 参数root:为第start个节点的直接父母节点位置，root = 0表示根节点的父母节点
     */
    public void dfs(int start, int root) {
        int child = tree[start][0];  //第start个节点的第1个孩子节点
        for(int i = 0;child != 0;i++) {
            child = tree[start][i];
            if(child != root) {  //防止出现start的孩子成为start的父亲情况
                dfs(child, start);
                dp[start][1] += dp[child][0];  //当第child个节点没有孩子节点时，开始回溯
                dp[start][0] += (dp[child][1] > dp[child][0] ? dp[child][1] : dp[child][0]);
            }
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Main test = new Main();
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n = in.nextInt();
        for(int i = 0;i < n;i++)
            test.dp[i + 1][1] = in.nextInt();
        for(int i = 0;i < n - 1;i++) {
            int point1 = in.nextInt();
            int point2 = in.nextInt();
            test.creatTree(point1, point2);
        }
        test.dfs(1, 0);   //从创建的数的根节点（即第1个顶点，0表示根节点的父母节点）开始进行DFS遍历
        int max = (test.dp[1][1] > test.dp[1][0] ? test.dp[1][1] : test.dp[1][0]);
        System.out.println(max);
    }
}

参考资料：

1. 蓝桥杯算法提高结点选择（树形DP）

2. 蓝桥杯 - 算法训练 - ALGO - 4 结点选择（经典树形DP）

算法笔记_076:蓝桥杯练习 结点选择（Java）

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算法笔记_076:蓝桥杯练习结点选择（Java）