使用修补算子求解MKP问题的文献总结
按顺序进行丢弃--增加操作
决策变量根据规则排序（一般是根据效用排序），直接进行丢弃--增加操作。5，6，7是同一作者，5和6使用的效用和Chu是一样的，7则改进了效用的计算方式。8和9是清华大学王凌实验室的文章，与其他文章思路不一样，是按照约束进行丢项操作。
1）求解多维背包问题的改进二进制粒子群算法
2）改进二进制人工蜂群算法求解多维背包问题
3）无参数变异的二进制差分进化算法
4）利用改进的二进制狼群算法求解多维背包问题
5）A new ant colony optimization algorithm for the multidimensional Knapsack problem
6）Apply the Particle Swarm Optimization to the Multidimensional Knapsack Problem
7）Solving large-scale multidimensional knapsack problems with a new binary harmony search algorithm
8）A novel binary fruit fly optimization algorithm for solving the multidimensional knapsack problem
9）An effective hybrid EDA-based algorithm for solving multidimensional knapsack problem
文章8：丢弃操作是确定性的，增项操作中，只针对一个松弛性最高的约束检索可以增加的变量。
其他
1）随机丢弃-确定增加：改进二进制布谷鸟搜索算法求解多维背包问题
2）随机丢弃：一种求解多背包问题的改进的人工鱼群算法
3）确定丢弃：求解０－１背包问题的二进制狼群算法
4）效用动态改变：同一个作者的两篇文章a) Self-adaptive check and repair
operator-based particle swarm optimization for the multidimensional knapsack problem（当解陷入局部最优一定时间后，将进入修正效用的阶段，重新进入搜索）;b) Three pseudo-utility ratio-inspired particle swarm optimization with local search for multidimensional knapsack problem
5）多目标0／1背包问题MOEA求解中的修复策略（不同背包赋予不同的权重，讨论了很多策略，非常详细）
实现鼻祖文章chu的代码
A Genetic Algorithm for the Multidimensional
Knapsack Problem
function [bx, result, con] = GA_MKP(prob,alg)
% 参考文献：
% Chu P C , Beasley J E . A Genetic Algorithm for the Multidimensional
% Knapsack Problem[J]. Journal of Heuristics, 1998, 4(1):63-86.
% 功能：二进制遗传算法解MKP问题
% 输入
% prob 问题的属性
% prob.Nvar 变量数
% prob.weight 每个物品的权重
% prob.A 约束系数
% prob.R 约束右端项
% prob.bestP 目前为止该问题的最优解
% alg 搜索参数 包括
% alg.PS 人口规模
% alg.NG 最大迭代次数
% alg.pc 交叉概率
% alg.pu 变异概率
% alg.pr 替换概率
% 输出
% bx 最优解
% con 记录得到的最优解
% result 结构体
% result.bP 最优解的函数值
% result.ni 最优解对应选择照片的个数
% result.NGen 运行停止时迭代的次数
% result.T 运算时间
% result.bx 每次迭代停止时输出的最优解
% result.isfeasible 解是否可行的标志
% 子函数 修复算子
% [x,fit] = repair_MKP(x,prob)
% 输入
% x： 输入的基因的值
% 输出
% x： 修复后的x值
% fit： 可行解的适应度值
% 参数设置
tic % 计时器
bestP = prob.bestP; % 精确解
weight = prob.weight;
R = prob.R;
A = prob.A;
Nvar = prob.Nvar; % 基因长度
PS = alg.PS; % 种群大小
NG = alg.NG; % 最大迭代次数
n_competition = alg.n_competition; % 锦标赛选择个体数
nc = size(A,1);
% 生成初始解
Parent = zeros(PS,Nvar);
for i = 1:PS
x = zeros(1,Nvar);
T = 1:Nvar;
nT = Nvar;
j = T(ceil(rand * nT));
T(j ) = [];
S = zeros(nc,1);
while all(S + A(:,j) <= R)
x(j) = 1;
S = S + A(:,j);
nT = nT-1;
id= ceil(rand*nT); % 找到装入背包的变量
j = T(id);
T(id) = [];
end
Parent(i,:) = x;
end
Fit = sum(bsxfun(@times, weight, Parent),2);
[bP,id] = max(Fit); % 记录最优值
bx = Parent(id,:);
con = zeros(NG,1); % 每一代的最优解
NGen = PS; % 迭代次数
evaluate_time = PS; % 评价次数
con(1:PS) = sort(Fit);
%% 开始迭代
while bP < bestP && NGen < NG % 终止条件 达到了最优解或者最大评价次数
child = Parent(1,:);
id =1;
while any(all( bsxfun(@eq,child,Parent(id,:)), 2)) % 生成一个和父代不同的个体
% turnament selection T = 2
% 选择第一个个体
id1 = ceil(rand(n_competition,1)*PS);
[~,k1] = max(Fit(id1));
P_1 = Parent(id1(k1),:);
% 选择第二个个体
id2 = ceil(rand(n_competition,1)*PS);
[~,k2] = max(Fit(id2));
P_2 = Parent(id1(k2),:);
% Crossover and mutation
% uniform crossover 两个父代个体产生一个子代个体
child = zeros(1,Nvar);
id = rand(1,Nvar) < 0.5;
child(id) = P_1(id);
child(~id) = P_2(~id);
% mutation 只变异两个位置 要使用吗？ k = ceil(rand*2);
k = ceil(rand(1,2) * Nvar);
while(k(1)==k(2))
k(2) = ceil(rand * Nvar);
end
child(k) = 1-child(k);
% 修复和评价
[child,childFit] = repair_MKP(child, prob);
evaluate_time = evaluate_time + 1;
% 判断子代是否和父代中的个体重复
id = sum(child,2)==sum(Parent,2);
end
% 将父代中的最差解替换为子代
[~,min_P] = min(Fit);
Parent(min_P,:) = child;
Fit(min_P) = childFit;
% 更新全局最优解
[~,g] = max(Fit);
if Fit(g)>bP
bx = Parent(g,:);
bP = Fit(g);
end
con(NGen)=bP; % 记录最优解
if rem(NGen,10000)==0 % 图示化
disp(bP)
plot(con(1:NGen))
pause(eps)
end
NGen = NGen+1;
end % end for while
% 输出
result.bP=sum(prob.weight.*bx);
result.ni = sum(bx>0);
result.NGen = NGen-1;
result.evaluate_time = evaluate_time;
result.bx = bx;
result.T=toc;
% 判断解是否可行
nc = sum(sum(prob.A.*bx,2)>prob.R);
result.isfeasible = nc;
function [x,fit] = repair_MKP(x,prob)
% 修复不可行解
% 输入
% x： 输入的解
% 输出
% x： 修复后的x的值
% fit： 可行解x的适应度值
% 输入基本信息
weight=prob.weight; % 目标函数中变量的系数
A = prob.A; % 约束中变量的系数
R = prob.R; % 约束右端项
Nvar = prob.Nvar; % 变量的个数
iden = 1:Nvar;
x = x';
%% drop
S = A*x; % 计算每一个约束的左端项之和
j = Nvar;
% % 法一 文献中的处理方式
while any(S > R)
if x(j)>0
x(j) = 0;
S = S-A(:,j);
end
j = j-1;
end
% 法二 根据自己的理解稍作修改
% id = any(S > R);
% while any(id)
% if (x(j)>0)&&any(A(id,j))
% x(j) = 0;
% S = S-A(:,j);
% end
% id = S > R;
% j = j-1;
% end
%% add
To_0 = iden(x==0);
for j = To_0
if all(S + A(:,j)<= R)
x(j) = 1;
S = S + A(:,j);
end
end
%% 输出
x = x';
fit = sum(weight.*x);