两个有序数组的中位数【算法】

有两个有序数组A和B，设计算法求出A和B的中位数。

情况1. 数组A、B长度相等，设为n。

1）分别计算A和B的中位数m1和m2。

2）比较m1和m2。如果m1等于m2，那么最终结果就是m1(m2)。

3）如果m1大于m2，那么中位数必定在 $A\left [ 0\cdots n/2 \right ]$ 和 $B \left [ n/2\cdots n-1 \right ]$ 两个子数组中。

4）如果m1小于m2，那么中位数必定在 $A \left [ n/2\cdots n-1 \right ]$ 和 $B \left [ 0\cdots n/2 \right ]$ 两个子数组中。

5）重复上述步骤，直至两个子数组的大小均为2，那么最终结果为 $Median=\left ( max\left ( A\left [ left \right ],B\left [ left \right ] \right )+min\left ( A\left [ right \right ],B\left [ right \right ] \right ) \right )/2$ 。

情况2. 数组A、B长度不相等，分别设为m，n(m <= n)。

假设 $A\left [ i \right ]$ 是中位数，那么因为数组是有序的， $A\left [ i \right ]$ 一定比数组A中前 $i-1$ 数大。而且，如果 $A\left [ i \right ]$ 是中位数， $A\left [ i \right ]$ 一定会比数组B中前 $j=\left \lceil \left ( m+n \right )/2 \right \rceil-\left ( i-1 \right )$ 个数大。如果 $A\left [ i \right ] >B\left [ j \right ]$ 且 $A\left [ i \right ] <B\left [ j+1 \right ]$ ，那么 $A\left [ i \right ]$ 就是中位数，否则可根据 $A\left [ i \right ]$ 和 $B\left [ j \right ]$ 、 $B\left [ j+1 \right ]$ 关系判断 $A\left [ i \right ]$ 比中位数大还是小。因为数组A是有序的，所以可以利用二分搜索在 $Theta left ( log_{2}n ight )$ 时间内找到 $A\left [ i \right ]$ 。伪代码如下：

imin, imax = 0, m
while imin <= imax
    i = (imin + imax) / 2
    j = ((m + n + 1) / 2) - i
    if j > 0 and i < m and B[j - 1] > A[i]
        imin = i + 1
    else if i > 0 and j < n and A[i - 1] > B[j]
        imax = i - 1
    else
        if i == 0
            num1 = B[j - 1]
        elif j == 0
            num1 = A[i - 1]
        else
            num1 = max(A[i - 1], B[j - 1])

if (m + n) & 1:
    return num1

if i == m
    num2 = B[j]
else if j == n
     num2 = A[i]
else
     num2 = min(A[i], B[j])

return (num1 + num2) / 2.0

参考资料：http://www.geeksforgeeks.org/median-of-two-sorted-arrays/

https://oj.leetcode.com/discuss/15790/share-my-o-log-min-m-n-solution-with-explanation

http://ocw.alfaisal.edu/NR/rdonlyres/Electrical-Engineering-and-Computer-Science/6-046JFall-2005/30C68118-E436-4FE3-8C79-6BAFBB07D935/0/ps9sol.pdf

https://oj.leetcode.com/discuss/11174/share-my-iterative-solution-with-o-log-min-n-m

http://www.geeksforgeeks.org/median-of-two-sorted-arrays-of-different-sizes/

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