基于用户投票的 6 个排名算法【转载+整理】

本文内容

Delicious 和 Hacker News
Reddit
Stack Overflow
牛顿冷却定律
威尔逊区间
贝叶斯平均

互联网的出现，意味着"信息大爆炸"。用户担心的，不再是信息太少，而是信息太多。如何从大量信息之中，快速有效地找出最重要的内容，成了互联网的一大核心问题。

各种各样的排名算法，是目前过滤信息的主要手段之一。对信息进行排名，意味着将信息按照重要性依次排列，并且及时进行更新。排列的依据，可以基于信息本身的特征，也可以基于用户的投票，即让用户决定，什么样的信息可以排在第一位。

下面，我将整理和分析一些基于用户投票的排名算法。

Delicious 和 Hacker News

Delicious

该算法是最直接、最简单的算法，它按单位时间内用户的投票数进行排名。得票最多的 item 排在第一位。旧版 Delicious，有一个“热门书签排行榜”，就是这样统计出来的。如图 1 所示：

图 1

每过 60 分钟，就统计一次。按照“60分钟内被收藏的次数”进行排名。

该算法优点是，简单、易部署、内容更新相当快；但缺点主要有两个，1）排名变化不够平滑，前一个小时还排名靠前的item，第二个小时就一落千丈，2）缺乏自动淘汰旧 item 的机制，即某些热门内容可能会长期占据排行榜前列。

Hacker News

Hacker News 是一个网络社区，可以张贴链接，或者讨论某个主题。如图 2 所示：

图 2

每个帖子前面有一个“向上的小三角”，如果你觉得这个帖子很好，就点击，投上一票。根据得票数，系统自动统计出热门文章排行榜。

但是，并非得票最多的文章就应该排在第一位，还要考虑时间因素，新文章应该比旧文章更容易得到好的排名。

Hacker News 使用 Paul Graham 开发的 Arc 语言编写，源码可以从 arclanguage.org 下载。算法如图 3 所示：

图 3

该算法的数学公式为：

其中，

P 表示帖子得票数，“减去1”表示忽略发帖人的投票。
T 表示距离发帖的时间（单位为小时），“加上 2”表示防止对于最新的帖子，导致分母过小（之所以选择 2，可能是因为从原始文章出现在其他网站，到转贴至 Hacker News，平均需要两个小时）。
G 表示“重力因子（gravityth power）”，即将帖子排名往下拉的力量，默认值为 1.8，后文会详细讨论这个值。

从这个公式来看，决定帖子的排名有三个因素：

票数 P。在其他条件不变的情况下，得票越多，排名越高。

图 4

从图 4 左边看，同时发布三个帖子，颜色依次为黄色、紫色和蓝色，得票分别为 200、60 和 30，那么减1后分别为 199、59 和 29。在任一时间点上，都是黄色在最上方，蓝色曲线在最下方。

如果你不想让“高票帖子”与“低票帖子”的差距过大，可以在得票数上加一个小于 1 的指数，如。

距离发帖的时间 T。在其他条件不变的情况下，越是新发表的帖子，排名越高。或者说，一个帖子的排名，会随着时间而不断下降。因此，从图 4 看到，经过 24 小时后，所有帖子的得分基本上都小于 1，这意味着它们都将跌到排行榜的末尾，保证了排名前列的都将是较新的内容。
重力因子 G。它的数值大小决定了排名随时间下降的速度。从图 4 右边看到，三个曲线的其他参数都一样，G 的值分别为 1.5、1.8 和 2.0。G 值越大，曲线越陡峭，排名下降得越快，意味着排行榜的更新速度越快。

知道了算法的构成，就可以调整参数的值，以适用你自己的应用程序。

参考文献

[1] How Hacker News ranking algorithm works

[2] How to Build a Popularity Algorithm You can be Proud of

上面 Hacker News 排名算法只能投赞成票，可用户当然也需要投反对票。或者说，除了好评以外，还可以给差评。

Reddit 是美国最大的网上社区，每个帖子前面都有“向上”和“向下”箭头，分别表示“赞成”和“反对”。用户点击进行投票，Reddit根据投票结果，计算出最新的“热点文章排行榜”。如图 6 所示。

图 5

算法

如何将赞成票和反对票结合起来，计算出一段时间内最受欢迎的文章？如果文章 A 有 100 张赞成票、5 张反对票；文章 B 有 1000 张赞成票、950 张反对票，谁应该排在前面呢？

Reddit 程序是开源的，使用 Python 语言编写。排名算法如图 6：

图 6 Reddit 算法

该算法考虑了 4 个因素，包括帖子新旧程度、投票赞成与反对的差、投票倾向和帖子受肯定（否定）程度：

1）帖子新旧程度 t

其中，t 单位为秒，用 Unix 时间戳计算。不难看出，一旦帖子发表，t 就是固定值，不会随时间改变，而且帖子越新，t 值越大。至于，2005 年 12 月 8 日应该是 Reddit 成立的时间。

2）赞成票与反对票的差 x

3）投票倾向 y

其中，y 是一个符号变量，表示对文章的总体看法。如果赞成票居多，y 就是 +1；如果反对票居多，y 就是 -1；如果赞成票和反对票相等，y 就是 0。

4）帖子的受肯定（否定）的程度 z

其中，z 表示赞成票与反对票之间差额的绝对值。如果对某个帖子的评价，越是一边倒，z 就越大。如果赞成票等于反对票，z 就等于 1。

结合以上四个因素，Reddit 计算公式如下：

其中，

表示，赞成票与反对票的差额z越大，得分越高。

需要注意的是，这里用的是以10为底的对数，意味着z=10可以得到1分，z=100可以得到2分。也就是说，前10个投票人与后90个投票人（乃至再后面900个投票人）的权重是一样的，即如果一个帖子特别受到欢迎，那么越到后面投赞成票，对得分越不会产生影响。

当赞成票等于反对票，z=1，因此这个部分等于0，也就是不产生得分。

表示，其中，
- t 越大，得分越高，即新帖子的得分会高于老帖子。它起到自动将老帖子的排名往下拉的作用。
- 分母 45000 秒，等于 12.5 个小时，即后一天的帖子比前一天的帖子多得 2 分。结合前一部分，可以得到结论，如果前一天的帖子在第二天还想保持原先的排名，在这一天里面，它的 z 值必须增加 100 倍（净赞成票增加 100 倍）。
- y 的作用是产生加分或减分。当赞成票超过反对票时，这一部分为正，起到加分作用；当赞成票少于反对票时，这一部分为负，起到减分作用；当两者相等，这一部分为 0。这就保证了得到大量净赞成票的文章，会排在前列；赞成票与反对票接近或相等的文章，会排在后面；得到净反对票的文章，会排在最后（因为得分是负值）。

特点

这个算法的一个问题是，对于那些有争议的文章（赞成票和反对票非常接近），它们不可能排到前列。假定同一时间有两个帖子发表，文章A有 1 张赞成票（发帖人投的）、0 张反对票；文章 B 有1000 张赞成票、1000 张反对票，那么 A 的排名会高于 B，这显然不合理。因此，Reddit 排名，基本上由发帖时间决定，超级受欢迎的文章会排在最前面，一般性受欢迎的文章、有争议的文章都不会很靠前。这决定了 Reddit 是一个符合大众口味的社区，不是一个很激进、可以展示少数派想法的地方。

参考资料

[1] How Reddit ranking algorithms work

Stack Overflow

上面 Reddit 算法，用户可以投赞成票，也可以投反对票。即，除了时间外，只需要考虑两个因素。

但是，对于一些特定的网站，必须考虑更多的因素，如世界排名第一的程序员问答社区 Stack Overflow，就是这样。你在上面提出各种关于编程的问题，然后等待别人回答。访问者可以对你的问题进行投票（赞成或反对），以表示这个问题是否有价值。一旦有人回答了你的问题，那么，其他人也可以对这个回答投票（赞成或反对），以表明对这个回答的态度。

图 7 Stack Overflow 网站（左：对问题的投票；右：对问题回答的投票）

排名算法的作用是，找出某段时间内的热点问题，即哪些问题最被关注、得到了最多的讨论。

在Stack Overflow 页面上，每个问题前面有三个数字，分别表示问题的得分、回答数，以及该问题的浏览次数。以这些变量为基础，就可以设计算法了。

图 8

创始人之一 Jeff Atwood，几年前，公开了该算法的计算公式。

用 php 语言如图，就是下面这样：

图 9

其中，

1）问题的浏览次数Qviews

某个问题的浏览次数越多，代表越受关注，得分也就越高。使用以10为底的对数，是当访问量越来越大，它对得分的影响将不断变小。

2）问题得分Qanswers和回答的数量Qscore

其中，

Qscore = 赞成票-反对票。如果某个问题越受到好评，排名自然应该越靠前；
Qanswers 表示回答的数量，代表有多少人参与这个问题。这个值越大，得分将成倍放大。这里需要注意的是，如果无人回答，Qanswers 就等于0，这时Qscore 再高也没用，意味着再好的问题，也必须有人回答，否则进不了热点问题排行榜。

3）回答得分 Ascores

一般来说，“回答”比“问题”更有意义。得分越高，代表回答的质量越高。

但是我感觉，简单加总的设计还不够全面。这里有两个问题。首先，一个正确的回答胜过一百个无用的回答，但是，简单加总会导致，1 个得分为 100 的回答与 100 个得分为 1 的回答，总得分相同。其次，由于得分会出现负值，因此那些特别差的回答，会拉低正确回答的得分。

4）距离问题发表的时间Qage和距离最后一个回答的时间 Qupdated

其中，Qage 和 Qupdated 单位是秒。如果一个问题的存在时间越久，或者距离上一次回答的时间越久，Qage 和 Qupdated 的值就相应增大。

也就是说，随着时间流逝，这两个值都会越变越大，导致分母增大，因此总得分会越来越小。

Stack Overflow 热点问题的排名，与参与度（Qviews 和 Qanswers）和质量（Qscore 和 Ascores）成正比，与时间（Qage 和 Qupdated）成反比。

牛顿冷却定律

这是一个更一般的数学模型。我们可以把"热文排名"想象成一个"自然冷却"的过程：

1）任一时刻，网站中所有的文章，都有一个“当前温度”，温度最高的文章就排在第一位。

2）如果一个用户对某篇文章投了赞成票，该文章的温度就上升一度。

3）随着时间流逝，所有文章的温度都逐渐“冷却”。

这样假设的意义在于，我们可以照搬物理学的冷却定律，使用现成的公式，建立“温度”与“时间”之间的函数关系，构建一个“指数式衰减（Exponential decay）”的过程。

图 10

牛顿早在 17 世纪就提出了温度冷却的数学公式，被后人称作“牛顿冷却定律（Newton's Law of Cooling）”。我们就用这个定律构建排名算法。

用一句话概括“牛顿冷却定律”：物体的冷却速度，跟其当前温度与室温之间的温差成正比。

写成微分方程如下：

其中，

T(t) 是温度T关于时间 t 的函数，则温度变化（冷却）的速率就是温度函数的导数 T'(t)。
H 代表室温，T(t)-H 是当前温度与室温之间的温差。由于当前温度高于室温，所以这是一个正值。
常数 α(α>0) 表示室温与降温速率之间的比例关系。前面的负号表示降温。不同的物质有不同的 α 值。

为了计算当前温度，需要求出T(t) 函数表达式，进行如下计算：

第一步，变换方程，再在等式两边取积分。

第二步，求出这个积分的解（c 为常数项）。

第三步，假设在时刻 t₀，该物体的温度是 T(t₀)，简写为 T₀。代入上面的方程，得到

第四步，将第三步的 C 代入第二步的方程。

假定室温 H 为 0 度，即所有物体最终都会"冷寂"，方程就可以简化为

也就是：

将这个公式套用在“排名算法”，就相当于（假定本期没有增加净赞成票）

其中，"冷却系数"是一个你自己决定的值。如果假定一篇新文章的初始分数是100分，24小时之后"冷却"为1分，那么可以计算得到"冷却系数"约等于0.192。如果你想放慢"热文排名"的更新率，"冷却系数"就取一个较小的值，否则就取一个较大的值。

图 11

参考文献

[1] Rank Hotness With Newton's Law of Cooling

迄今为止，这个系列都在讨论，如何给出"某个时段"的排名，比如"过去24小时最热门的文章"。但是，很多场合需要的是"所有时段"的排名，比如"最受用户好评的产品"。这时，时间因素就不需要考虑了。这个系列的最后两篇，就研究不考虑时间因素的情况下，如何给出排名。

威尔逊区间

一种常见的错误算法是：

得分 = 赞成票 - 反对票

假定有两个项目，项目 A 是 60 张赞成票，40 张反对票，项目 B 是 550 张赞成票，450 张反对票。请问，谁应该排在前面？按照上面的公式，B 会排在前面，因为它的得分（550 - 450 = 100）高于A（60 - 40 = 20）。但是实际上，B的好评率只有 55%（550 / 1000），而A为 60%（60 / 100），所以正确的结果应该是 A 排在前面。Urban Dictionary 就是这种错误算法的实例，如图 12 左边。

图 12 左：Urban Dictionary；右：Amazon

另一种常见的错误算法是：

得分 = 赞成票 / 总票数

如果"总票数"很大，那么这种算法是有效的。否则，就会出错。假定 A 有 2 张赞成票、0 张反对票；B 有 100 张赞成票、1 张反对票。这种算法会使得 A 排在 B 前面。这显然是错误的。Amazon 就是这种错误算法的实例，如图 12 右边。

那么，正确的算法是什么呢？

我们先做如下设定：

1）每个用户的投票都是独立事件。

2）用户只有两个选择，要么投赞成票，要么投反对票。

3）如果投票总人数为 n，其中赞成票为 k，那么赞成票的比例 p 就等于 k/n。

如果你了解概率，这统计分布，叫“二项分布（binomial distribution）”。这很重要，下面将用到。

我们的思路是，p 越大，就代表这个项目的好评比例越高，越应该排在前面。但 p 的可信性，取决于有多少人投票，如果样本太小，p 就不可信。好在我们已经知道，p 是二项分布中某个事件的发生概率，因此我们可以计算出p的置信区间。所谓“置信区间”，就是说，以某个概率而言，p 会落在的那个区间。比如，某个产品的好评率是 80%，但是这个值不一定可信。根据统计学，我们只能说，有 95% 的把握可以断定，好评率在 75%~85% 之间，即置信区间是 [75%, 85%]。

这样一来，排名算法就比较清晰了：

第一步，计算每个项目的“好评率”（即赞成票的比例）。
第二步，计算每个“好评率”的置信区间（以95%的概率）。
第三步，根据置信区间的下限值，进行排名。这个值越大，排名就越高。

这样做的原理是，置信区间的宽窄与样本的数量有关。比如，A 有 8 张赞成票，2 张反对票；B 有 80 张赞成票，20 张反对票。这两个项目的赞成票比例都是 80%，但是 B 的置信区间（假定 [75%, 85%]）会比 A 的置信区间（假定 [70%, 90%]）窄得多，因此，B 的置信区间的下限值（75%）会比 A（70%）大，所以 B 应该排在 A 前面。

置信区间的实质，就是进行可信度的修正，弥补样本量过小的影响。如果样本多，就说明比较可信，不需要很大的修正，所以置信区间会比较窄，下限值会比较大；如果样本少，就说明不一定可信，必须进行较大的修正，所以置信区间会比较宽，下限值会比较小。

二项分布的置信区间有多种计算公式，最常见的”正态区间（Normal approximation interval）"，但它只适用于样本较多的情况（np > 5 且 n(1 − p) > 5），对于小样本，它的准确性很差。

1927年，美国数学家 Edwin Bidwell Wilson 提出了一个修正公式，被称为"威尔逊区间（Wilson score interval）"，很好地解决了小样本的准确性问题。

在上面的公式中，表示样本的"赞成票比例"，n 表示样本的大小，表示对应某个置信水平的 z 统计量，这是一个常数，可以通过查表或统计软件包得到。一般情况下，在 95% 的置信水平下，z统计量的值为 1.96。威尔逊置信区间的均值为：

它的下限值为：

可以看到，当 n 的值足够大时，这个下限值会趋向。如果 n 非常小（投票人很少），这个下限值会大大小于。实际上，起到了降低"赞成票比例"的作用，使得该项目的得分变小、排名下降。

Reddit 的评论排名，目前就使用这个算法。

图 13

参考文献

[1] How Not To Sort By Average Rating

贝叶斯平均

“威尔逊区间”解决了投票人数过少、导致结果不可信的问题。

举例来说，如果只有 2 个人投票，“威尔逊区间”的下限值会将赞成票的比例大幅拉低。这样做固然保证了排名的可信性，但也带来了另一个问题：排行榜前列总是那些票数最多的项目，新项目或者冷门的项目，很难有出头机会，排名可能会长期靠后。

以 IMDB 为例，它是世界最大的电影数据库，观众可以对每部电影投票，最低为 1 分，最高为 10 分。系统根据投票结果，计算出每部电影的平均得分。然后，再根据平均得分，排出最受欢迎的前250名的电影。

这里就有一个问题：热门电影与冷门电影的平均得分，是否真的可比？举例来说，一部好莱坞大片有 10000 个观众投票，一部小成本的文艺片只有 100 个观众投票。这两者的投票结果，怎么比较？如果使用“威尔逊区间”，后者的得分将被大幅拉低，这样处理是否公平，能不能反映它们真正的质量？

一个合理的思路是，如果要比较两部电影的好坏，至少应该请同样多的观众观看和评分。既然文艺片的观众人数偏少，那么应该设法为它增加一些观众。

在排名页面的底部，IMDB 给出了它的计算方法。

其中，

WR，加权得分（weighted rating）。
R，该电影的用户投票的平均得分（Rating）。
v，该电影的投票人数（votes）。
m，排名前250名的电影的最低投票数（现在为3000）。
C，所有电影的平均得分（现在为6.9）。

仔细研究这个公式，你会发现，IMDB 为每部电影增加了 3000 张选票，并且这些选票的评分都为 6.9。这样做的原因是，假设所有电影都至少有 3000 张选票，那么就都具备了进入前250名的评选条件；然后假设这 3000 张选票的评分是所有电影的平均得分（即假设这部电影具有平均水准）；最后，用现有的观众投票进行修正，长期来看，v/(v+m)这部分的权重将越来越大，得分将慢慢接近真实情况。

这样做拉近了不同电影之间投票人数的差异，使得投票人数较少的电影也有可能排名前列。

把这个公式写成更一般的形式：

其中，

C，投票人数扩展的规模，是一个自行设定的常数，与整个网站的总体用户人数有关，可以等于每个项目的平均投票数。
n，该项目的现有投票人数。
x，该项目的每张选票的值。
m，总体平均分，即整个网站所有选票的算术平均值。

这种算法被称为"贝叶斯平均"（Bayesian average）。因为某种程度上，它借鉴了"贝叶斯推断"（Bayesian inference）的思想：既然不知道投票结果，那就先估计一个值，然后不断用新的信息修正，使得它越来越接近正确的值。

在这个公式中，m（总体平均分）是"先验概率"，每一次新的投票都是一个调整因子，使总体平均分不断向该项目的真实投票结果靠近。投票人数越多，该项目的"贝叶斯平均"就越接近算术平均，对排名的影响就越小。

因此，这种方法可以给一些投票人数较少的项目，以相对公平的排名。

"贝叶斯平均"也有缺点，主要问题是它假设用户的投票是正态分布。比如，电影A有10个观众评分，5个为五星，5个为一星；电影B也有 10 个观众评分，都给了三星。这两部电影的平均得分（无论是算术平均，还是贝叶斯平均）都是三星，但是电影A可能比电影B更值得看。

解决这个问题的思路是，假定每个用户的投票都是独立事件，每次投票只有n个选项可以选择，那么这就服从"多项分布"（Multinomial distribution），就可以结合贝叶斯定理，估计该分布的期望值。由于这涉及复杂的统计学知识，这里就不深入了，感兴趣的朋友可以继续阅读William Morgan的 How to rank products based on user input。