NYOJ 461

Fibonacci数列（四）

描述: 数学神童小明终于把0到100000000的Fibonacci数列（f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2)）的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位（高4位）就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验小明说的是否正确。

输入

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾结束。

输出

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

样例输入

样例输出

这道题首先考虑如何产生前4位：

先看对数的性质,log_ab^c=c*log_ab ,log_a(b*c)=log_ab+log_ac;假设给出一个数10234432,
那么log₁₀(10234432)=log₁₀(1.0234432*10⁷)【用科学记数法表示这个数】=log₁₀(1.0234432)+7;
log₁₀(1.0234432)就是log₁₀(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744(取对数所产生的数一定是个小数)
再取一次幂:10^0.010063744=1.023443198，然后减去整数部分，剩下的就是小数部分，让取前4位，只需要将小数部分*1000就好了。

然后根据数学知识，有斐波那契数列的通项公式：

当然，这样是不够的，需要进一步加工。

log₁₀f(n)=n*log₁₀((1+√5)/2)-log₁₀√5+log₁₀(1-((1-√5)/(1+√5))ⁿ) 红色的部分随着n的增大快速的就趋近余0，是高阶无穷小. 可以忽略。

所以：log₁₀f(n) ≈n*log₁₀((1+√5)/2)-log₁₀√5

 1 #include<iostream>
 2 #include<stdio.h>
 3 #include<cmath>
 4 using namespace std;
 5 int main(){
 6     int n,i,a[25];
 7     double x,y,z,d;
 8     a[0]=0;
 9     a[1]=1;
10     for(i=0;i<19;i++)
11         a[i+2]=a[i+1]+a[i];
12 
13     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
14         if(n<=20)
15             cout<<a[n]<<endl;
16         else{
17             x=( log( ( 1.0+sqrt(5.0) ) /2.0 ) / log(10.0) )*n;
18             y=( 0.5*log( 5.0 ) )/log(10.0);    
19             z=(x-y)-floor(x-y);                  //得到log f(n)的小数部分 
20             d=1000*pow(10.0,z );                     
21             cout<<floor(d)<<endl;                 //取整数 
22 
23         }
24     }
25     return 0;
26 }