题目描述
求 (sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^m varphi(ij)(mod 998244353))
(T) 组询问
(1 leq n,m,T leq 10^5)
分析
令 (n<m)
首先，我们把 (varphi(ij)) 拆成 (varphi(i)varphi(j)frac{gcd(i,j)}{varphi(gcd(i,j))})
考虑求单个欧拉函数的方法
(varphi(i)=iprodlimits_{d in prime,d|i}frac{d-1}{d})
(varphi(i)varphi(j)) 比 (varphi(ij)) 多乘了 (i,j) 共有的质因子
所以我们要把这些共有的质因子做出的贡献消除
即乘上一个 (frac{gcd(i,j)}{varphi(gcd(i,j))})
那么式子就变成了
(sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{j=1}^mvarphi(i)varphi(j)frac{gcd(i,j)}{varphi(gcd(i,j))})
按照莫比乌斯反演的套路，枚举 (gcd(i,j))
(sumlimits_{d=1}^nfrac{d}{varphi(d)}sumlimits_{i=1}^{n/d}sumlimits_{j=1}^{m/d}varphi(id)varphi(jd)[gcd(i,j)=1])
(sumlimits_{d=1}^nfrac{d}{varphi(d)}sumlimits_{i=1}^{n/d}sumlimits_{j=1}^{m/d}varphi(id)varphi(jd)sumlimits_{k|gcd(i,j)}mu(k))
(sumlimits_{d=1}^nfrac{d}{varphi(d)}sumlimits_{k=1}^{n/d}mu(k)sumlimits_{i=1}^{n/dk}sumlimits_{j=1}^{m/dk}varphi(idk)varphi(jdk))
(sumlimits_{T=1}^nsumlimits_{d|T}frac{d}{varphi(d) }mu(frac{T}{d})sumlimits_{i=1}^{n/T}sumlimits_{j=1}^{m/T}varphi(iT)varphi(jT))
设 (g(T)=sumlimits_{d|T}frac{d}{varphi(d) }mu(frac{T}{d}),s(n,m)=sumlimits_{i=1}^nvarphi(mi))
原式变成
(sumlimits_{T=1}^ng(T)s(n/T,T)s(m/T,T))
(g) 数组和 (s) 数组可以 (nlogn) 预处理出来
然后就可以 (O(n)) 计算每一次的答案
总复杂度就是 (O(nT))，还是不够优秀
我们可以人为地设一个值 (top)
当 (T<frac{m}{top}) 时暴力计算
否则 (frac{n}{T},frac{m}{T}) 一定是小于 (top) 的
那么我们就可以开一个数组把小于 (top) 的这一部分预处理出来
查询的时候就可以直接用
这道题的内存限制是 (64M)
所以不能直接开数组
而要开一个内存池或者用 (vector)
代码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define rg register
const int maxn=1e5+5,maxm=55,mod=998244353,tp=52;
inline int addmod(rg int now1,rg int now2){
return now1+=now2,now1>=mod?now1-mod:now1;
}
inline int delmod(rg int now1,rg int now2){
return now1-=now2,now1<0?now1+mod:now1;
}
inline int mulmod(rg long long now1,rg int now2){
return now1*=now2,now1>=mod?now1%mod:now1;
}
int pri[maxn],mmax,phi[maxn],mu[maxn],g[maxn],*f[maxm][maxm],buf[maxn*160],*o=buf,*s[maxn];
int ksm(rg int ds,rg int zs){
rg int nans=1;
while(zs){
if(zs&1) nans=mulmod(nans,ds);
ds=mulmod(ds,ds);
zs>>=1;
}
return nans;
}
bool not_pri[maxn];
void pre(){
not_pri[0]=not_pri[1]=1;
phi[1]=mu[1]=1;
for(rg int i=2;i<=mmax;i++){
if(!not_pri[i]){
pri[++pri[0]]=i;
phi[i]=i-1;
mu[i]=mod-1;
}
for(rg int j=1;j<=pri[0] && 1LL*i*pri[j]<=mmax;j++){
not_pri[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){
phi[i*pri[j]]=mulmod(pri[j],phi[i]);
break;
} else {
phi[i*pri[j]]=mulmod(phi[pri[j]],phi[i]);
mu[i*pri[j]]=mulmod(mu[pri[j]],mu[i]);
}
}
}
rg int cs;
for(rg int i=1;i<=mmax;i++){
cs=mulmod(i,ksm(phi[i],mod-2));
for(rg int j=i,now=1;j<=mmax;j+=i,now++){
g[j]=addmod(g[j],mulmod(cs,mu[now]));
}
}
for(rg int i=1;i<=mmax;i++){
cs=mmax/i;
s[i]=o;
o+=(cs+1);
for(rg int j=1;j<=cs;j++){
s[i][j]=addmod(s[i][j-1],phi[i*j]);
}
}
for(rg int i=1;i<=tp;i++){
for(rg int j=1;j<=tp;j++){
f[i][j]=o;
f[i][j][0]=0;
cs=std::min(mmax/i,mmax/j);
o+=(cs+1);
for(rg int k=1;k<=cs;k++){
f[i][j][k]=(addmod(f[i][j][k-1],mulmod(g[k],mulmod(s[k][i],s[k][j]))));
}
}
}
}
int t,n,m;
int main(){
mmax=1e5;
pre();
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) std::swap(n,m);
rg int nans=0,mmax=m/tp,orz1,orz2;
for(rg int i=1;i<=mmax;i++){
nans=addmod(nans,mulmod(g[i],mulmod(s[i][n/i],s[i][m/i])));
}
for(rg int l=mmax+1,r;l<=n;l=r+1){
r=std::min((n/(n/l)),m/(m/l)),orz1=n/l,orz2=m/l;
nans=addmod(nans,delmod(f[orz1][orz2][r],f[orz1][orz2][l-1]));
}
printf("%d
",nans);
}
return 0;
}