非确定性有穷状态决策自动机练习题Vol.1 D. 收集邮票

题目描述

有(n)种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是(n)种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为(1/n)。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第(k)张邮票需要支付(k)元钱。现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

一行,一个数字(N N leq 10000)

输出格式

要付出多少钱. 保留二位小数

样例

样例输入

3

样例输出

21.25

数据范围与提示

(N leq10000)

分析

思路很好，倒着推导

以下转自这里

用(f[i])表示现在取到(i)张邮票,要取完剩下邮票的期望次数

显然(f[n]=0)

现在已经取得(i)张邮票,所以下一次取邮票有(frac{i}{n})的概率取到已经有的,期望为(frac{i}{n} imes f[i])

有(frac{n-i}{n})的概率取到没有的,期望为(frac{n-i}{n}*f[i+1])

这次取邮票的期望为(1),所以总期望为:

$f[i]=frac{i}{n}f[i]+frac{n-i}{n}f[i+1]+1 $

化简可得:(f[i]=f[i+1]+frac{n}{n-i})

用(g[i])表示现在取到(i)张邮票,要取完剩下邮票的期望价格显然(g[n]=0)

现在已经取得(i)张邮票,所以下一次取邮票有(frac{i}{n})的概率取到已经有的,期望为(frac{i}{n}*(g[i]+f[i]+1)),

有(frac{n-i}{n})的概率取到没有的,期望为(frac{n-i}{n}*(g[i+1]+f[i+1]+1))

所以总期望为:

$g[i]=frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)+frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1) $

化简可得

(g[i]=frac{i}{n-i}*f[i]+g[i+1]+f[i+1]+frac{n}{n-i})

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}
double f[maxn],g[maxn];
int n;
int main(){

	n=read();
	for(int i=n-1;i>=0;i--){
		f[i]=f[i+1]+(double)n/(double(n)-(double)i);
		g[i]=(double)i/((double)n-(double)i)*(f[i]+1)+g[i+1]+f[i+1]+1;
	}
	printf("%.2lf
",g[0]);
	return 0;
}