UVA11300 Spreading the Wealth

写在前面：这道题并不是简单的思维题，而是一道数学题，所以大家一定要认真推理，不要直接抄代码，理解最重要

题目描述

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输出样例

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一句话题意：有n个人围成一圈，每个人有一定数量的金币，每个人可以给和他相邻的人一些金币，求挪动的最少金币使他们平分金币

 分析

对于每一个人，他的金币数只能从他前面那一个人或者后面那一个人那里得到

同样地，他的金币也只能传递给前面的那个人或者后面的那个人

但是无论怎么传递，他们最终剩余的金币数是相同的，而且这个金币数我们可以直接算出来

我们设最终每个人都有的金币数为m，人数为n

在读入时，我们开一个变量ans记录n个人的金币数之和，那么m=ans/n

我们设b[i]为第i个人给第i-1个人的金币数，需要注意的是，因为题目中说n个人围成了一个环，所以b[1]为第1个人给第n个人的金币数

（注意，这里的b数组可正可负，如果是正数，表明第i个人给了第i-1个人金币，如果为负数，表明第i-1个人给了第i个人金币，如果为0，则两个人不发生金币交换）

对于第一个人，他给了第n个人b[1]个金币，同时，第二个人又给了他b[2]个金币，他的初始金币数为a[1]，最终金币数为m

所以我们可以列出式子 m=a[1]-b[1]+b[2]   -------- 1式

同样，对于第二个人 m=a[2]-b[2]+b[3]     -------- 2式

……

对于第n个人：m=a[n]-b[n]+b[1]     -------- n式

所以m=a[n]-b[n]+b[n+1]

为了找规律方便，我们引入一个数组c，令c[1]=a[1]-m，c[2]=a[1]+a[2]-m*2,c[n]=a[1]+a[2]+...+a[n]-m*n

通式为c[0]=0,c[i]=a[i]+c[i-1]-m;

对于第二个人（由1式得）：b[2]=m-a[1]+b[1]=b[1]-c[1];

对于第三个人（由2式得）：b[3]=m-a[2]+b[2]=m-a[2]+m-a[1]+b[1](将b[2]=m-a[1]+b[1]代入)=2m-a[1]-a[2]+b[1]=b[1]-c[2];

对于第四个人（由3式得）：b[4]=m-a[3]+b[3]=3m-a[1]-a[2]-a[3]+b[1]=b[1]-c[3]

……

我们希望所有的b[i]的绝对值之和尽量小，也就是使

|b[1]-c[0]|+|b[1]-c[1]|+|b[1]-c[2]|+|b[1]-c[3]|+……+|b[1]-c[n-1]|最小

对于任意两个数a、b，我们知道|a-b|的绝对值表示它们在数轴上的距离

所以原式我们可以看成坐标为b[1]的点到以上所有点距离之和的最小值

这时，就有一个结论，给定数轴上的n个点，在数轴上所有点中，中位数离所有顶点的距离之和最小

下面我们给出简单的证明

如果n为奇数，我们举一个5的例子

根据结论，这时c2点为最优决策

我们用反证法，如果我们将决策点向左移动一个单位,那么该点到c0、c1的距离分别减小1，到c2、c3、c4的距离分别增加1，总的距离增加了1，显然不是最优决策

如果我们将决策点向右移动一个单位,那么该点到c0、c1、c2的距离分别增加1，到c3、c4的距离分别减小1，总的距离增加了1，显然不是最优决策

所以中位数最优

同样的，如果n为偶数，我们只需要在[c[n/2-1]，c[n/2]]这个区间内任取一个数就是最优决策，证明同上

不要忘了排一下序

所以，最终我们要将b[1]的值赋值成c[n/2]

而c数组我们提前处理得到，所以问题就迎刃而解了

到这里，其实b数组并没有什么用，只是在证明过程中出现，所以我们只要定义一个整形变量存储b[1]就可以了

记得要开long long哦

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;
typedef long long ll;//注意要开long long
ll a[maxn],c[maxn];
ll n;
int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(c,0,sizeof(c));
        memset(a,0,sizeof(a));
        ll tot=0;
        for(ll i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            tot+=a[i];
        }
        ll pj=tot/n;//求出每个人最终拥有的金币数
        for(ll i=1;i<n;i++){
            c[i]=a[i]+c[i-1]-pj;
        }//预处理c数组
        sort(c,c+n);//排序，不要忘了
        ll ans=c[n/2];
        ll cnt=0;
        for(ll i=0;i<n;i++){
            cnt+=abs(ans-c[i]);
        }
        printf("%lld
",cnt);
    }
    return 0;
}