洛谷 P4822 [BJWC2012]冻结

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算法标签: 图论，最短路

题目

题目描述

“我要成为魔法少女！”
“那么，以灵魂为代价，你希望得到什么？”
“我要将有关魔法和奇迹的一切，封印于卡片之中„„”

在这个愿望被实现以后的世界里，人们享受着魔法卡片（SpellCard，又名符卡）带来的便捷。

现在，不需要立下契约也可以使用魔法了！你还不来试一试？
比如，我们在魔法百科全书（Encyclopedia of Spells）里用“freeze”作为关键字来查询，会有很多有趣的结果。
例如，我们熟知的Cirno，她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。当然，更加令人惊讶的是，居然有冻结时间的魔法，Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小巫见大巫了。
这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望，比如 Akemi Homura、Sakuya Izayoi、„„
当然，在本题中我们并不是要来研究历史的，而是研究魔法的应用。

我们考虑最简单的旅行问题吧：现在这个大陆上有 N 个城市，M 条双向的道路。城市编号为 1~N，我们在 1 号城市，需要到 N 号城市，怎样才能最快地到达呢？
这不就是最短路问题吗？我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd-Warshall等算法来解决。
现在，我们一共有 K 张可以使时间变慢 50%的 SpellCard，也就是说，在通过某条路径时，我们可以选择使用一张卡片，这样，我们通过这一条道路的时间就可以减少到原先的一半。需要注意的是：

在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。
使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。
你不必使用完所有的 SpellCard。

给定以上的信息，你的任务是：求出在可以使用这不超过 K 张时间减速的 SpellCard 之情形下，从城市1 到城市N最少需要多长时间。

输入格式

第一行包含三个整数：N、M、K。
接下来 M 行，每行包含三个整数：Ai、Bi、Timei，表示存在一条 Ai与 Bi之间的双向道路，在不使用 SpellCard 之前提下，通过它需要 Timei的时间。

输出格式

输出一个整数，表示从1 号城市到 N号城市的最小用时。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

说明/提示

样例解释：
在不使用 SpellCard 时，最短路为 1à2à4，总时间为 10。现在我们可以使用 1 次 SpellCard，那么我们将通过 2à4 这条道路的时间减半，此时总时间为7。
对于100%的数据：1 ≤ K ≤ N ≤ 50，M ≤ 1000。
1≤ Ai，Bi ≤ N，2 ≤ Timei ≤ 2000。
为保证答案为整数，保证所有的 Timei均为偶数。
所有数据中的无向图保证无自环、重边，且是连通的。

题解：

分层图最短路

大致思路见http://littleseven.top/?p=286

分层图最短路，重点就是按照分层的规则确定数组大小（极其玄学），注意分层图的复杂建图。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2200 * 52;
const int M = 22000 * 52;

int tot, head[N], to[M], nex[M], val[M];
int n, m, k, vis[N], dis[N];

void add(int x, int y, int z)
{
	to[ ++ tot] = y;
	val[tot] = z;
	nex[tot] = head[x];
	head[x] = tot;
}

priority_queue< pair<int, int> > q;
void dijkstra(int s)
{
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	dis[s] = 0;
	q.push(make_pair(0, s));
	while (!q.empty())
	{
		int x = q.top().second;
		q.pop();
		if (vis[x])
			continue ;
		vis[x] = 1;
		for (int i = head[x]; i; i = nex[i])
		{
			if (dis[to[i]] > dis[x] + val[i])
			{
				dis[to[i]] = dis[x] + val[i];
				q.push(make_pair(-dis[to[i]], to[i]));
			}
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	for (int i = 1; i <= m; i ++ )
	{
		int x, y, z;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		add(x, y, z);
		add(y, x, z);
		for (int j = 1; j <= k; j ++ )
		{
			add(y + (j - 1) * n, x + j * n, z / 2);
			add(x + (j - 1) * n, y + j * n, z / 2);
			add(x + j * n, y + j * n, z);
			add(y + j * n, x + j * n, z);
		}
	}
	dijkstra(1);
	int ans = 0x3f3f3f3f;
	for (int i = 0; i <= n; i ++ )
	{
		ans = min(ans, dis[n * i + n]);
	}
	printf("%d
", ans);
	return 0;
}