AcWing 423. 采药

一、题目解析

注意一下$m$和$n$的录入顺序。

01背包模型

状态表示$f(i,j)$—集合：考虑前 $i$ 个物品，且当前已使用体积为$ j$ 的方案

状态表示$f(i,j)$—属性：该方案的价值为最大值 $max$

状态转移$f(i,j)$： $f(i,j)=\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} 不选第i个物品: max\{f(i-1,j)\} & \\ 选第i个物品: max\{f(i-1,j-v_i)+w_i\}\\ \end{array} \right. \end{equation}$

初始状态：f[0][0]

目标状态：f[n][m]

集合划分

二、二维朴素作法

空间复杂度：$O(n×m)$
时间复杂度：$O(n×m)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 110;
const int M = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][M];

int main() {
    //input
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];

    //dp
    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];//不选
            if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);//选
        }

    //output
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

三、一维空间优化作法

空间复杂度：$O(m)$
时间复杂度：$O(n×m)$

观察到朴素版的代码里，每个阶段 $i$ 的状态转移，只依靠 $i-1$ 层的状态

因此我们可以通过 滚动数组 或者 代码等价变形 来优化掉后续不再使用的空间

滚动数组

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
const int M = 1010;

int n, m;
int w[N], v[N];
int f[2][M]; //滚动数组优化

int main() {
    //input
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];

    //&1 和 %2是一个意思
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            f[i & 1][j] = f[i - 1 & 1][j];//不选
            if (j >= v[i]) f[i & 1][j] = max(f[i & 1][j], f[i - 1 & 1][j - v[i]] + w[i]);//选
        }

    //output
    cout << f[n & 1][m] << endl;
    return 0;
}

代码等价变形（经典01背包优化方式）

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main() {
    //注意一下m和n的录入顺序
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
    //01背包模板
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = m; j >= v[i]; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

    printf("%d", f[m]);
    return 0;
}