Topic Model

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(Gamma)函数

(Gamma)函数可以看做是阶乘在实数域上的推广，即：
(Gamma(x) = int_{0}^{+infty} t^{x-1}e^{-t}dt = (x-1)!)
性质：(frac{Gamma(x)}{Gamma(x-1)} = x-1)

Beta分布

Beta分布的概率密度：$$f(x) = egin{cases} frac{1}{B(alpha, eta)}x^{alpha-1}(1-x)^{eta-1}, & ext{(x in [0,1])} 0, & ext{others} end{cases}$$
其中，B为(int_{0}^{1}x^{alpha-1}(1-x)^{eta-1}dx = frac{Gamma(alpha)Gamma(eta)}{Gamma(alpha+eta)})；
Beta分布的期望：(E(x) = int_{0}^{1}x·f(x)dx = int_{0}^{1}x·frac{1}{B(alpha,eta)}x^{alpha-1}(1-x)^{eta-1}dx = frac{alpha}{alpha+eta})

共轭先验分布

在贝叶斯决策中，已知先验概率和似然函数，求后验概率，则可以根据贝叶斯公式求得：
(P( heta|x) = frac{P(x| heta)P( heta)}{P(x)} propto P(x| heta)P( heta))
而如果后验概率(P( heta|x))和先验概率P(( heta))满足同样的分布律，那么，先验分布和后验分布叫做共轭分布，此时，先验分布叫做似然函数的共轭先验分布。
（当变量x是离散的时候叫做分布律，连续的时候叫做概率密度）

伯努利分布的共轭先验是Beta分布

伯努利分布的似然：(P(x| heta) = heta^{x}(1- heta)^{1-x});
先验函数为：(P( heta|alpha, eta) = frac{1}{B(alpha,eta)} heta^{alpha-1}(1- h eta)^{eta-1});
则后验概率为：(P( heta|x) propto P(x| heta)P( heta) propto heta^{(x+a)-1}(1- heta)^{(1-x+eta)-1})
后验概率的形式与先验概率的形式是一样的，所以伯努利分布的共轭先验是Beta分布。

从Beta分布Dirichlet分布

从2到K，

二项分布推到多项分布；
Beta分布推到Dirichlet分布。

Beta分布的概率密度：$$f(x) = egin{cases} frac{1}{B(alpha, eta)}x^{alpha-1}(1-x)^{eta-1}, & ext{(x in [0,1])} 0, & ext{others} end{cases}$$
其中，(B(alpha, eta) = frac{Gamma(alpha)Gamma(eta)}{Gamma(alpha+eta)})；

Dirichlet分布的概率密度：$$f(p|alpha) = egin{cases} frac{1}{Delta(alpha)}Pi_{k=1}^{K}p_{k}^{alpha_{k}-1}, & ext{(p_{k}in [0, 1])} 0, & ext{others} end{cases}$$
其中，(Delta(alpha) = frac{Pi_{k=1}^{K}Gamma(alpha_{k})}{Gamma(sum_{k=1}^{K}alpha_{k})})

对称的Dirichlet分布

即参数(alpha_{i})的值都是相等的。

当(alpha = 1)时，退化为均匀分布；
当(alpha > 1)时，(p1 = p2 = p3 = ... = pk)的概率增大；
当(alpha < 1)时，(pi = 1, p_{非i} = 0)的概率增大
在狄利克雷分布中，(alpha_{i})是参数，那么参数(alpha_{i})对分布有什么影响呢？
当(alpha_{k} < 1)时，即所有的参数都取k，小于1，当某个变量趋于0时，分布会取到最大值；
当(alpha_{k} = 1)时，即所有的参数都取1时，分布趋于均匀分布；
当(alpha_{k} > 1)时，即所有的参数都取k，大于1，当自变量取值都相等时，分布会取到最大值。

LDA解释 —— 贝叶斯学派的典型应用

LDA是典型的无监督学习，事先不需要知道label，也不需要知道每个topic具体是什么含义，只需给出topic的数目即可。
Topic Model与聚类、降维的关系。

Topic Model可以看做是聚类，即若干个文档在K个话题下的软聚类；
Topic Model也可以看做是降维，由原来维度较高的次分布变为维度较低的主题分布，大大降低了特征向量的维度。
为什么使用多话题呢？
-- 如果语料中存在一词多义和多词一义的问题，如果使用词向量作为文档的特征，一词多义和多词一义会造成基三文档间相似度的不准确性。
-- 所以通过增加主题的方式解决上述问题。一个词可能被映射到多个主题中，多个词可能被映射到某个主题的概率很高。
共有m篇文档，K个主题；
每篇文章（长度为N）都有各自的主题分布（多项分布），该多项分布的参数服从Dirichlet分布，参数为为(alpha)；
每个主题都有各自的词分布（多项分布），该多项分布的参数服从Dirichlet分布，参数为(eta)；
对于每篇文章中的第n个词，首先从该文章的主题分布中采样一个主题，然后在这个主题对应的词分布中采样一个词。不断的重塑这个随机生成过程，直到m篇文章全部完成上述过程。
LDA的概率图模型为：
其中，(alpha)和(eta)为先验分布的参数，一般是需要事先给定，比如取0.1的堆成Dirichlet分布，表示在参数学习结束之后，期望每个文档的主题不会十分集中；
( heta)是每篇文档的主题分布，是长度为K的向量；
(varphi_{k})表示第k个主题的词分布；
由(z_{ij})选择(varphi_{zij})，表示由词分布(varphi_{zij})确定term，即得到观测值(w_{ij})。

参数的学习

给定一个文档集合，(w_{m,n})是可以观察到的已知变量，(alpha)和(eta)是根据经验给定的先验参数，其他的变量(z_{m,n}, heta, varphi)都是未知的隐变量，需要根据观察到的变量来学习估计。则LDA所有变量的联合分布为：
(p(w_{m}, z_{m}, heta_{m}, Phi|alpha, eta) = Pi_{n=1}^{N_{m}}p(w_{m,n}|varphi_{z_{m,n}})p(z_{m,n}| heta_{m})p( heta_{m}|alpha)p(Phi|eta))

Gibbs Sampling

吉布斯采样算法的运行方式是每次选取概率向量的一个维度，给定其他维度的变量值采样当前维度的值。不断迭代直到收敛输出待估计的参数。

初始时随机给文本中的每个词分配主题(z^{(0)})，然后统计每个主题z下出现词t的数量以及每个文档m下出现主题z的数量，每一轮计算(p(z_{i}|z_{-i},d,w))，即排除当前词的主题分布；
根据其他所有词的主题分布估计当前词分配各个主题的概率；
当得到当前词属于所有主题z的概率分布后，根据这个概率分布为该词采样一个新的主题；
用同样的方法更新下一个词的主题，直到发现每个文档的主题分布( heta_{i})和每个主题的词分布(varphi_{i})收敛。算法停止，输出待估计的参数( heta)和(varphi)，同时每个单词的主题也可以得出