洛谷 P1044 栈

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解题思路:

建立数组f。f[i]表示i个数的全部可能性。

f[0] = 1, f[1] = 1; //当然只有一个

设 x 为当前出栈序列的最后一个，则x有n种取值

由于x是最后一个出栈的，所以可以将已经出栈的数分成两部分

1. 比x小

2. 比x大

比x小的数有x-1个，所以这些数的全部出栈可能为f[x-1]

比x大的数有n-x个，所以这些数的全部出栈可能为f[n-x]

这两部分互相影响，所以一个x的取值能够得到的所有可能性为f[x-1] * f[n-x]

另外，由于x有n个取值，所以

ans = f[0]*f[n-1] + f[1]*f[n-2] + ... + f[n-1]*f[0];

这，就是传说中的卡特兰数//原址:https://www.luogu.com.cn/blog/QiXingZhi/solution-p1044

AC代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

int n,f[20];

int main() {
    scanf("%d",&n);
    f[1] = 1;
    f[0] = 1;
    for(int i = 2;i <= n; i++)
        for(int j = 0;j < i; j++)
            f[i] += f[j] * f[i-j-1];
    printf("%d",f[n]);
    
    return 0;
}