Charm Bracelet——背包问题

Time Limit:1000MS Memory Limit:65536KB 64bit IO Format:%I64d & %I64u

Description

Bessie has gone to the mall's jewelry store and spies a charm bracelet. Of course, she'd like to fill it with the best charms possible from the N (1 ≤ N ≤ 3,402) available charms. Each charm i in the supplied list has a weight W_i (1 ≤ W_i ≤ 400), a 'desirability' factor D_i (1 ≤ D_i ≤ 100), and can be used at most once. Bessie can only support a charm bracelet whose weight is no more than M (1 ≤ M ≤ 12,880).

Given that weight limit as a constraint and a list of the charms with their weights and desirability rating, deduce the maximum possible sum of ratings.

Input

* Line 1: Two space-separated integers: N and M
* Lines 2..N+1: Line i+1 describes charm i with two space-separated integers: W_i and D_i

Output

* Line 1: A single integer that is the greatest sum of charm desirabilities that can be achieved given the weight constraints

Sample Input

Sample Output

背包问题：

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i] }。可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

示例：

#include"stdafx.h"
#include<iostream>
usingnamespacestd;
#defineMAXSIZE1000
intf[MAXSIZE+1],c[MAXSIZE+1],w[MAXSIZE+1];
int_main(intargc,_TCHAR*argv[])
{
intN,V;
cin>>N>>V;
inti=1;
for(;i<=N;++i)
{
cin>>c[i]>>w[i];
}
for(i=1;i<=N;++i)
{
for(intv=V;v>=c[i];--v)//c[i]可优化为bound,bound=max{V-sumc[i,...n],c[i]}
{
f[v]=(f[v]>f[v-c[i]]+w[i])?f[v]:f[v-c[i]]+w[i];
}
}
//当i=N时，可以跳出循环单独计算F[V]
cout<<f[V]<<'
';
system("pause");
return0;
}

本题不可用二维二维会超内存一维便好

代码：

#include<stdio.h>
//#include<string.h>
int d[1300];
int w[400],v[100];
int main()
{
    int n,m,i,j;
    //memset(d,0,seizeof(d));
    scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
       for(j=m;j>=w[i];j--)
           d[j]=(d[j]>d[j-w[i]]+v[i])?d[j]:d[j-w[i]]+v[i];
    printf("%d
",d[m]);
    return 0;
}

1）0-1背包问题和零碎背包问题是不同的，前者只能用动态规划来做，后者可以用贪心算法。

2）动态规划的核心是 “有多个重叠子问题”，“自底向上”解决问题。

3) 0-1背包问题，W为最大重量，n为物体个数，求最大的价值Value，可在O(nW)的时间复杂度内解算出来。

这个题目是经典的0-1背包问题，借此学习0- 1背包

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}。