[数学]卡特兰数

前言

咕比赛写博客的我。哭哭。
在本篇文章的剩余部分中，我们定义(C(n))为卡特兰数的第(n)项

定义

翻阅了一堆文章，也没找到真正的定义，暂且拿这个充当定义:
(C(n))表示，从原点出发，每次向x或y轴正方向移动1单位，到达点(n,n)，且在移动过程中不越过第一象限平分线的移动方案数。

通项公式

我们记(C(n))为卡特兰数的第(n)项

[C(n)= left( egin{matrix}2n \ nend{matrix} ight) - left( egin{matrix}2n \ n + 1end{matrix} ight) ]

证明

首先根据组合数学，我们知道如果不考虑第一象限平分线的限制，方案数为(left(egin{matrix}2n \ nend{matrix} ight))。
注意到任何一种非法的方案，都至少有一个点(p)碰到了直线(y=x+1)，那么我们将这条路径在(p)点以上的在直线(y=x+1)以下的部分沿直线(y=x+1)镜像到直线(y=x+1)上。
看图理解:上图中的绿线为(y=x+1)，红线为原非法路径在(p)上的部分，蓝线为镜像后的结果。
我们会发现任何一种非法方案都可以变换成(0,0)到(n-1,n+1)的一条路径，且存在一一映射关系，所以总方案数为:(left(egin{matrix}2n \ nend{matrix} ight)-left(egin{matrix}2n \ n+1end{matrix} ight))

化简

[C(n)=left(egin{matrix}2n \ nend{matrix} ight)-left(egin{matrix}2n \ n+1end{matrix} ight) ]

[=frac{(2n)!}{n!n!}-frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!} ]

[=frac{1}{n+1}(frac{(2n)!(n+1)}{n!n!}-frac{(2n)!}{n!(n-1)!}) ]

[=frac{1}{n+1}(frac{(2n)!(n+1)}{n!n!}-frac{(2n)! imes n}{n!n!}) ]

[=frac{1}{n+1}frac{(2n)!(n+1)-(2n)! imes n}{n!n!} ]

[=frac{1}{n+1}frac{(2n)!}{n!n!} ]

[=frac{1}{n+1}left(egin{matrix}2n \ nend{matrix} ight) ]

变形

[C(n)=frac{1}{n+1}sum_{i=0}^nleft(egin{matrix}n \ i end{matrix} ight)^2 ]

递推

[C(n+1)=sum_{i=0}^nC(i)C(n-i), C(0)=1 ]

[C(n+1)=frac{2(2n+1)}{n+2}C(n), C(0)=1 ]

应用

n对括号的合法配对方案书
n个节点的二叉树的形态数
n+1个叶子(n个非叶节点)的满二叉树的形态数, 走到左儿子+1,走到右儿子-1,类似于括号匹配(大致同2)
n个数入栈后出栈的排列总数
对凸n+2边形进行不同的三角形分割的方案数(分割线断点仅为顶点，且分割线仅在顶点上相交)
n层的阶梯切割为n个矩形的切法数

卡特兰数与OI初赛

首先背诵上述应用场景，然后记忆卡特兰数的前几项:1,1,2,5,14,42,132。

拓展

(n+m)个人排队买票，并且满足(n geq m)，票价为50元，其中n个人有且仅有一张(50)元钞票，m个人有且仅有一张(100)元钞票，初始时候售票窗口没有钱，问有多少种排队的情况数能够让大家都买到票。
如果(n=m)可以直接用Catalan数解决，也就是将有50元的人看成是上述应用中的左括号，有100元的人看成是右括号。
对与(n>m)的情况，假设所有人都可以买到票的情况数是(A_{n,m})，不能让每个人都买到的情况数是(B_{n,m})，设最早买不到票的人为(p)，他一定手持100元且售票处没有50元，那么这时将前p个人的钱从50元变成100元，从100元变成50元(不考虑顺序，所以没有影响)，这时候就有(n+1)个人有50元，(m-1)个有100元的，所以就得到(B_{n,m}=left(egin{matrix}n+m \ n+1end{matrix} ight))，那么(A_{n,m}=left(egin{matrix}n+m \ nend{matrix} ight)-left(egin{matrix}n+m \ n+1end{matrix} ight))。
这正是应用了上文证明的"翻折"思想。