二叉搜索树的最近公共祖先

题干

给定一个二叉搜索树，找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。最近公共祖先是对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。
例如对于如图的二叉搜索树，节点 1 和节点 5 的最近公共祖先是节点 3。节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5，因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

二叉树结点的定义是：

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

解题思路

由于是二叉搜索树，所以可以利用二叉搜索树的性质来解题。对于二叉搜索树来说，满足条件的结点的数据域，值是 2 个给定数据的中间值。例如对于结点 2 和 5，他们的公共祖先是结点 3，从数值上看 3 是 2 和 5 的中间值。不过为什么不能是结点 4 呢？因为结点 4 虽然是中间值，但是却不是第一个遇到的中间值，也就是结点 3 所在的层次比其更上层。进行搜索操作时，结点 3 就会被先遍历到。

因此若结点比 2 个给定数据都大，则最近公共祖先会出现在结点的左子树中，若结点比 2 个给定数据都小，则最近公共祖先会出现在结点的右子树中。同理对于结点 8 和 7，其公共祖先就是结点 8，因为结点 8 本身就可以访问它本身。

根据对题目的分析，可以得到解题的伪代码如下。

题解代码

解法的实现可以递归也可以迭代，思路是一样的。

递归

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        if root.val > p.val and root.val > q.val:
            return self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        elif root.val < p.val and root.val < q.val:
            return self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        else:
            return root

迭代

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        while root:
            if root.val > p.val and root.val > q.val:
                root = root.left
            elif root.val < p.val and root.val < q.val:
                root = root.right
            else:
                break
        return root

时空复杂度

由于从本质上来看，这题其实也是二叉搜索树的查找操作，时间复杂度 O(㏒2n)。
如果使用迭代法，只需要常数级别的存储空间，空间复杂度为 O(1)。如果使用递归法法，最差情况下要把所有结点都递归一遍，空间复杂度为 O(n)。

普通二叉搜的最近公共祖先

给定一个普通二叉树，找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
例如对于如图的二叉树，节点 1 和节点 3 的最近公共祖先是节点 7。节点 8 和节点 4 的最近公共祖先是节点 4，因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

解题思路

因为此时不是二叉搜索树，所以不能用二叉搜索树的性质解决。解决这道题需要使用 DFS，对于每个结点在这 3 种情况下直接返回结点本身。

当前结点是 p；
当前结点是 q；
当前结点是 null；

若不属于以上 3 种情况则进行 DFS，DFS 的结果有 4 种：

p、q 都不在当前结点的子树中，说明没有找到最近公共祖先，返回 null;
p 在当前结点的子树中，返回 p
q 在当前结点的子树中，返回 q
p、q 都在当前结点的子树中，说明当前结点就是最近公共祖先，返回结点本身;

题解代码

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: TreeNode, p: TreeNode, q: TreeNode) -> TreeNode:
        #当前结点为空
        if root == None: 
            return None
        #当前结点是要找的结点之一
        if root == p or root == q: 
            return root
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        #左右子树都没找到
        if left == None and right == None: 
            return
        #在右子树找到了
        if left == None: 
            return right
        #在左子树找到了
        if right == None: 
            return left
        #当前结点是最近公共祖先
        return root

时空复杂度

最差情况下要把所有结点都搜索一遍，空间复杂度和空间复杂度都为 O(n)。

参考资料

《剑指 Offer(第2版)》，何海涛著，电子工业出版社
面试题68 - I. 二叉搜索树的最近公共祖先（迭代 / 递归，清晰图解）
剑指68II:最近公共祖先2解：后序遍历，路径回溯