PageRank算法

PageRank是网页重要程度计算方法，可推广到有向图结点的重要程度的计算。基本思想是在有向图上定义随机游走模型，在一定条件下，极限情况访问每个结点的概率收敛到平稳分布。

给定有n个结点强连通且非周期性的有向图，在其基础上定义随机游走模型。假设转移矩阵M，在时刻0，1，2，…，t，…访问各个结点概率为

则其极限存在，那么极限向量R表示马尔可夫链的平稳分布，满足

平稳分布R称为这个图的PageRank。R的各个分量为各个结点的PageRank值，

这是PageRank的基本定义，但有时有向图并未能满足强连通且非周期性的条件，没有其对应的平稳分布。

然而可以在基本定义上导入平滑项，这样平稳分布向量R就由下面的公式决定

其中，1是所有分量为1 的n维向量；d阻尼因子，一般由经验决定

因此这也称为PageRank的一般定义，其随机游走模型的转移矩阵由两部分的线性组合组成，一部分是有向图的基本转移矩阵M，另一部分是完全随机的转移矩阵。

PageRank的计算方法包括幂法、迭代计算法、代数算法。

幂法是其常用的方法，通常计算矩阵的主特征值和主特征向量求求得有向图的一般PageRank。计算流程：

输入：有n个结点的有向图，其转移矩阵M，阻尼因子d，初始向量x0和计算精度ε

输出：有向图的PageRank平稳向量R

1. 令t=0，选择初始向量x0
2. 计算有向图的一般转移矩阵A

   

3. 迭代并规范化结果向量

   

4. 当时，令，停止迭代。
5. 否则，令t=t+1，执行步骤（3）
6. 对R进行规范化处理，使其表示概率分布

   例，给定以下有向图，d=0.85，ε=0.005，求其一般的PageRank

   

   图1 有向图

   有向图的转移矩阵

   

7. 令t=0，

   

8. 根据公式计算该图的一般转移矩阵A

   

9. 迭代并规范化

   

   通过多次迭代，在t=21，22时，得到向量

   

   ，停止迭代，取

    

   将R规范化，即使得其各个分量的和为1，

   

    

   迭代计算算法的流程：

   输入：有n个结点的有向图，其转移矩阵M，阻尼因子d，初始向量R0

   输出：有向图的PageRank平稳向量R

   （1）令t=0，

   （2）计算

   （3）当时充分接近，令，停止迭代。

   （4）否则，令t=t+1，执行步骤（2）

   代数算法的流程：

   按照一般PageRank的定义

   

   当0<d<1时，上定义式的推导解存在且唯一，这样就可通过求逆矩阵得到有向图的一般PageRank