矩阵的初等变换

定义1:三种初等变换：

（i）对换两行（对换 i，j两行，记作 r_i ↔ r_j）；

（ii）以数 k≠0 乘某一行中的所有元（第i行乘 k，记作 r_i×k）；

（iii）把某一行所有元的 k 倍加到另一行对应的元上去（第j 行的 k 倍加到第i行上，记作 r_i +kr_j）

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把 “r”换成“c”）.

矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换

如果矩阵 A 经有限次初等行变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 行等价，记作；如果矩阵 A 经有限次初等列变换变成矩阵 B，就称矩阵 A 与 B 列等价，记作；如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作 A ～B.

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

（i）反身性 A ～A；

（ii）对称性若 A～B，则 B～A；

（iii）传递性若 A ～B，B～C，则 A ～C

矩阵 B4 和 B5 的特点是：都可画出一条从第一行某元左方的竖线开始到最后一列某元下方的横线结束的阶梯线，它的左下方的元全为 0；每段竖线的高度为一行，竖线的右方的第一个元为非零元，称为该非零行的首非零元.具有这样特点的矩阵称为行阶梯形矩阵.为明确起见给出如下定义：

定义2 （1）非零矩阵若满足

（i）非零行在零行的上面；

（ii）非零行的首非零元所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面，则称此矩阵为行阶梯形矩阵

进一步，若 A 是行阶梯形矩阵，并且还满足：（i）非零行的首非零元为 1；（ii）首非零元所在的列的其他元均为 0，则称 A 为行最简形矩阵