映射与函数

集合

 不含任何元素的集合称为空集，记作Ø

元素a属于集合M，记作a∈M.

元素a不属于集合M，记作a∉M

集合的表示法：

（1）列举法：按某种方式列出集合中的全体元素例：有限集合A={a1，a2…，an} 

自然数集N={0，1，2…，n…}    ={n}

（2）描述法：M={x | x所具有的特征}

例：整数集合 Z={x l x∈N 或 -x∈N⁺}

有理数集 Q={| p∈Z,q∈N⁺,p与q互质}

实数集合 R={x  | x为有理数或无理数}

集合之间的关系与运算：

定义设有集合A、B，若x∈A必有x∈B，则称A是B的子集，或称B包含A，或称A包含于B,记作AB.

若AB且BA，则称A与B相等，记作A=B

并集  AUB={x|x∈A或x∈B}

交集 A∩B={x|x∈A且x∈B}

差集 AB={x|x∈A且x∉B}

区间与邻域：

区间：是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.

{x l a<x<b} 称为开区间，记作  (a，b)

{x l a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b]

{xla≤x<b}称为半开区间，记作[a，b）

无限区间：     [a，+∞）={x|a≤x}

 

 

邻域：

 映射：

两个非空集合X与Y间存在着对应关系f，而且对于X中的每一个元素x，Y中总有有唯一的一个元素y与它对应，就这种对应称为从X到Y的映射，记作f：X→Y

y称为元素x在映射f下的象，记作：y=f(x)。x称为y关于映射f的原象。集合X中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(X)。

满射：Y中的所有元素都是映射f的象

非满射：Y中的部分元素不是映射f的象

单射：X中的不同原象在Y中存在不同的象

单射可以诱导一个逆映射

非单射：至少存在两个元素有相同的象

 

双射(一一映射)：即使单射又是满射

函数：

单映射的函数才有反函数

直接函数与反函数是关于y=x对称 

符号函数：

y=sgn(x)=

取整函数[向下取整floor]：

y=[x]

例子

向上取整[ceil]

向零取整(trunc---int)-靠近零方向取整：

四舍五入函数：

y=round(x)

有界函数：函数在定义域内所对应的所有值域的绝对值都小于等于某个值   |f(x)|<=|M|

 如果f(x)>=A     就说f(x)在定义域上有下届，A是下届

如果f(x)<=B     就说f(x)在定义域上有上届，B是上届

有界函数既有上届也有下届；既有上届也有下届的函数肯定是有界函数

 

单调函数：递增函数或递减函数

偶函数：定义域关于原点对称，f(x)=f(-x)  

关于y轴对称

奇函数：定义域关于原点对称，f(x)=-f(x)

关于原点对称

周期函数： 

复合函数：

设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数） 

y=f(u)称为外函数     u=g(x）称为内函数     u称为中间变量

天子骄龙