矩阵分析及其在线性代数中的应用(3-4)
矩阵分析及其在线性代数中的应用(3-4)
3. 矩阵代数
3.2 加和转置
- 标量:一个复数
- 两个矩阵相等:每个元素均相等
- 行向量,列向量
- 同shape的矩阵相加,逐元素的加
- 加运算的逆
- 矩阵的差
- 标量乘法:逐元素相乘(关于标量和矩阵均满足分配律)
- 原矩阵(A),共轭矩阵(mathop{A}limits^{-}),矩阵的转置(A^{T}),共轭转置(伴随矩阵((A^{*}=A^{T})))
- 对称性:
- 对称阵 (A=A^{T})
- 反对称阵 (A=-A^{T})
- 厄米特阵 (A=A^{*})
- 反厄米特阵 (A=-A^{*})
3.3 线性性(Linearity)
- 线性函数:满足加法和数乘的函数
- 仿射函数:线性函数的转移
- 微分和积分算子也是线性的
- 转置函数和迹函数也是线性的
迹函数:(A_{n imes n})主对角线上元素的和
- 线性组合的定义:对于标量(alpha_{j})和矩阵(X_{j}),(alpha_1 X_{1}+alpha_2 X_{1}+cdots+alpha_n X_{n} = sumlimits_{j=1}^{n}alpha_{j}X_{j}) 是 (X_{j})的线性组合
3.5 矩阵乘法
矩阵乘法起源于Caylay对线性函数的复合的研究
- 内积
- 一致的两个矩阵(A_{m imes p})与(B_{p imes n})的积(product),(i,j)位置是(A)的第i行与(B)的第j列的内积
- 不满足交换律的矩阵乘法
- (AB = 0) 并不意味着 (A = 0) 或者 (B = 0),因此消去法不成立
- 乘积中的行与列:两个矩阵(A_{m imes p}=[a_{ij}])与(B_{p imes n}=[b_{ij}])
- ([AB]{i*} = A{i*}B)
- ([AB]{*j} = AB{*j})
- ([AB]{i*} = a{i1}B_{1} + a_{i2}B_{2} + cdots + a_{ip}B_{p} = sum_{k=1}^{p}a_{ik}B_{k})
- ([AB]{*j} = A{1}b_{1j} + A_{2}b_{2j} + cdots + A_{p}b_{pj} = sum_{k=1}^{p}A_{k}b_{kj})
原文地址:https://www.cnblogs.com/lightninghzw/p/4872764.html