题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028
整数划分 －－－ 一个老生长谈的问题:
- 描述
-
整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。
- 输入
- 每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)
- 输出
- 对于输入的 n,k;
- 第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
- 第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
- 第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
- 第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
- 第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。 第六行： 打印一个空行
- 样例输入
-
5 2
- 样例输出
-
7 2 3 3 3
- 提示
- 样例输出提示:
- 1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
- 2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
- 3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
- 4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
- 5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3
分析:
本题使用动态规划（Dynamic Programming）方法解决
一 求将n划分为若干正整数之和的划分数
1. 若划分的多个整数可以相同
设dp[i][j]为将i划分为不大于j的划分数
(1) 当i<j 时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；
(2) 当i>j 时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，划分方案数为dp[i-j][j]；若划分数中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]；
(3) 当i=j 时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]。
dp[n][n]可以解决问题1，dp[n][k]表示将n划分为最大数不超过k的划分数，可以解决问题3。
2. 若划分的正整数必须不同
设dp[i][j]为将i划分为不超过j的不同整数的划分数
(1) 当i<j时，i不能划分为大于i的数，所以dp[i][j]=dp[i][i]；
(2) 当i>j时，可以根据划分中是否含有j分为两种情况。若划分中含有j，则其余的划分中最大只能是j-1，方案数为dp[i-j][j-1]；若划分中不含j，相当于将i划分为不大于j-1的划分数，为dp[i][j-1]。所以当i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i][j-1]；
(3) 当i=j时，若划分中含有j只有一种情况，若划分中不含j相当于将i划分为不大于j-1的划分数。此时dp[i][j]=1+dp[i][j-1]
dp[n][n]表示将n划分为不同整数的划分数，可以解决问题5.
二 将n划分为k个整数的划分数
设dp[i][j]为将i划分为j个整数的划分数。
(1) i<j为不可能出现的情况，dp[i][j]=0；
(2) 若i=j，有一种情况：i可以划分为i个1之和，dp[i][j]=1；
(3) 若i>j，可以根据划分数中是否含有1分为两类：若划分数中含有1，可以使用“截边法”将j个划分分别截去一个1，把问题转化为i-j的j-1个划分数，为dp[i-j][j-1]； 若划分中不包含1，使用“截边法”将j个划分数的最下面一个数截去，将为题转化为求i-j的j个划分数，为dp[i-j][j]。所以i>j时dp[i][j]=dp[i-j][j-1]+dp[i-j][j]。
dp[n][k]为将n划分为k个整数的划分数，可解决问题2。
三 将n划分为若干正奇数之和的划分数
设f[i][j]为将i划分为j个奇数之和的划分数，g[i][j]为将i划分为j个偶数之和的划分数。
使用截边法，将g[i][j]的j个划分都去掉1，可以得到f[i-j][j]，所以
g[i][j] = f[i-j][j]。
f[i][j]中有包含1的划分方案和不包含1的划分方案。对于包含1的划分方案，可以将1的划分除去，转化为“将i-1划分为j-1个奇数之和的划分数”，即f[i-1][j-1]；对于不包含1的划分方案，可以使用截边法对j个划分每一个都去掉一个1，转化为“将i-j划分为j个偶数之和的划分数”，即g[i-j][j]。
所以f[i][j]=f[i-1][j-1]+g[i-j][j]。
f[n][0]+f[n][1]+……+f[n][n]为将n划分为若干奇数的划分数，为问题4的答案。
转自：http://www.cnblogs.com/wanghetao/archive/2013/11/25/3442192.html
本题正是问题1：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <queue> #include <cstdlib> #include <vector> #include <set> #include <map> #define LL long long using namespace std; int dp[200][200]; int main() { int n; for(int i=1;i<=120;i++) for(int j=1;j<=120;j++) { if(i<j)dp[i][j]=dp[i][i]; else if(i==j)dp[i][j]=1+dp[i][j-1]; else dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]; } while(scanf("%d",&n)>0) { printf("%d ",dp[n][n]); } }