NOIP2009 最优贸易

3．最优贸易

(trade.pas/c/cpp)

【问题描述】

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。

C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1~ n，阿龙决定从 1 号城市出发，并终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 C 国有 5 个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 1~n 号城市的水晶球价格分别为 4，3，5，6，1。

阿龙可以选择如下一条线路：1->2->3->5，并在 2 号城市以 3 的价格买入水晶球，在 3 号城市以 5 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路 1->4->5->4->5，并在第 1 次到达 5 号城市时以 1 的价格买入水晶球，在第 2 次到达 4 号城市时以 6 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 5。现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他多能赚取多少旅费。

【输入】

输入文件名为 trade.in。

第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市 y 之间的双向道路。

【输出】

输出文件 trade.out 共 1 行，包含 1 个整数，表示多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 0。

【输入输出样例】

trade.in

trade.out

5 5

4 3 5 6 1

1 2 1

1 4 1

2 3 2

3 5 1

4 5 2

【数据范围】输入数据保证 1 号城市可以到达 n 号城市。

对于 10%的数据，1≤n≤6。

对于 30%的数据，1≤n≤100。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，1≤n≤100000，1≤m≤500000，1≤x，y≤n，1≤z≤2，1≤各城市水晶球价格≤100。

【思路】

本题可以概括为求1-n的一条路，使得路上的max-min最大，但max必须在min之后。

刚开始用dfs解，忽略了max与min的先后关系。而又因为本题可以出现环，所以不能用dfs。

本题可以用两边SPFA完成（较dfs而言SPFA是更新），第一次计算每个节点到1路径上的min，第二次计算每个节点到n路径上的max。ans=max{max[i]-min[i]}

然而还有更优的算法，只进行一次SPFA，维护_min[v]代表到v包含v的路上的最小值，维护f[v]代表到v包含v的路上的p-min所得的最大值。注意更新条件。

【代码1】

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<fstream>
 5 #include<vector>
 6 #include<queue>
 7 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 8 using namespace std;
 9 
10 const int maxn = 100000+10;
11 const int INF=1<<30;
12 vector<int> Gto[maxn],Gbac[maxn];
13 int n,m,p[maxn],_min[maxn],_max[maxn];
14 
15 void SPFA_min(int s,int* d) {
16 int inq[maxn]; fill(inq,inq+n+1,0);
17 queue<int> Q;
18         fill(d,d+n+1,INF);
19         d[s]=p[s]; inq[s]=1;
20         Q.push(s);
21         while(!Q.empty()) {
22             int u=Q.front();Q.pop(); inq[u]=0;
23             for(int i=0;i<Gto[u].size();i++) {
24                 int v=Gto[u][i];
25                 if(min(d[u],p[v])<d[v]) {
26                     d[v]=min(d[u],p[v]);
27                     if(!inq[v]) {
28                         inq[v]=1; Q.push(v);
29                     }
30                 }
31             }
32         }
33 }
34 void SPFA_max(int s,int* d){
35 int inq[maxn]; fill(inq,inq+n+1,0);
36 queue<int> Q;
37         d[s]=p[s]; inq[s]=1;
38         Q.push(s);
39         while(!Q.empty()) {
40             int u=Q.front();Q.pop(); inq[u]=0;
41             for(int i=0;i<Gbac[u].size();i++) {
42                 int v=Gbac[u][i];
43                 if(max(d[u],p[v])>d[v]) {
44                     d[v]=max(d[u],p[v]);
45                     if(!inq[v]) {
46                         inq[v]=1; Q.push(v);
47                     }
48                 }
49             }
50         }
51 }
52 inline void AddEdge(int u,int v) {
53     Gto[u].push_back(v);
54     Gbac[v].push_back(u);
55 }
56 int main() {
57     scanf("%d%d",&n,&m);
58     FOR(i,1,n) scanf("%d",&p[i]);
59     FOR(i,1,m) {
60         int u,v,z;
61         scanf("%d%d%d",&u,&v,&z);
62         AddEdge(u,v);
63         if(z==2) AddEdge(v,u);
64     }
65     SPFA_min(1,_min);
66     SPFA_max(n,_max);
67     int ans=0; 
68     FOR(i,1,n) if(_max[i]&&_min[i]<INF) ans=max(ans,_max[i]-_min[i]); 
69     cout<<ans;
70     return 0;
71 }

【代码2】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<vector>
 3 #include<queue>
 4 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int maxn = 100000+10;
 8 const int INF=1<<30;
 9 vector<int> G[maxn];
10 int n,m,p[maxn],f[maxn],_min[maxn]; 
11 
12 void SPFA(int s) {
13 int inq[maxn]; fill(inq,inq+n+1,0);
14 queue<int> Q;
15         fill(_min,_min+n+1,INF);
16         _min[s]=p[s];  inq[s]=1;
17         Q.push(s);
18         while(!Q.empty()) {
19             int u=Q.front();Q.pop(); inq[u]=0;
20             for(int i=0;i<G[u].size();i++) {
21                 int v=G[u][i];
22                 if(min(_min[u],p[v])<_min[v] ||f[v]<p[v]-_min[v]|| f[v]<f[u] ) { 
23                 //注意判断条件 只要可以更新v结点 
24                     _min[v]=min(_min[v],min(_min[u],p[v]));
25                     f[v]=max(f[v],p[v]-_min[v]);
26                     f[v]=max(f[v],f[u]);
27                     if(!inq[v]) {
28                         inq[v]=1; Q.push(v);
29                     }
30                 }
31             }
32         }
33 }
34 
35 int main() {
36 freopen("trade.in","r",stdin);
37 freopen("trade.out","w",stdout);
38     scanf("%d%d",&n,&m);
39     FOR(i,1,n) scanf("%d",&p[i]);
40     FOR(i,1,m) {
41         int u,v,z;
42         scanf("%d%d%d",&u,&v,&z);
43         G[u].push_back(v);
44         if(z==2) G[v].push_back(u);
45     }
46     SPFA(1);
47     printf("%d",f[n]);
48     return 0;
49 }