数论——最大公约数和最小公倍数算法

求最小公倍数要用到最大公约数，最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数。

因此，两种数的求法都归结于最大公约数求法。

最大公约数的求法有三种：（1）辗转相除法（2）辗转相减法（3）穷举法。分别适合于不同情境。

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求最大公约数算法：

(1)辗转相除法

有两整数a和b：

① a%b得余数c

② 若c=0，则b即为两数的最大公约数

③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①

例如求27和15的最大公约数过程为：

27÷15 余1215÷12余312÷3余0因此，3即为最大公约数

#include<stdio.h>
void main()   /*  辗转相除法求最大公约数 */
{
   int m, n, a, b, t, c;
   printf("Input two integer numbers:
");
   scanf("%d%d", &a, &b);
   m=a;   n=b;
   while(b!=0)  /* 余数不为0，继续相除，直到余数为0 */
   { c=a%b; a=b;  b=c;}
   printf("The largest common divisor:%d
", a);
   printf("The least common multiple:%d
", m*n/a);
}

⑵ 相减法

有两整数a和b：

① 若a>b，则a=a-b

② 若a<b，则b=b-a

③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数

④ 若a≠b，则再回去执行①

例如求27和15的最大公约数过程为：

27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )

12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )

6－3＝3( 3==3 )

因此，3即为最大公约数

#include<stdio.h>
void main ( )  /* 相减法求最大公约数 */
{
   int m, n, a, b, c;
    printf("Input two integer numbers:
");
   scanf ("%d,%d", &a, &b);
 m=a; n=b;
     /* a, b不相等，大数减小数，直到相等为止。*/
   while ( a!=b)
         if (a>b)  a=a-b;
         else  b=b-a;
   printf("The largest common divisor:%d
", a);
   printf("The least common multiple:%d
", m*n/a);
}

⑶穷举法

有两整数a和b：

① i=1

② 若a，b能同时被i整除，则t＝i

③ i++

④ 若 i <= a(或b)，则再回去执行②

⑤ 若 i > a(或b)，则t即为最大公约数，结束

改进：

① i= a(或b)

② 若a，b能同时被i整除，则i即为最大公约数，

结束

③ i--，再回去执行②

有两整数a和b：

① i=1

② 若a，b能同时被i整除，则t＝i

③ i++

④ 若 i <= a(或b)，则再回去执行②

⑤ 若 i > a(或b)，则t即为最大公约数，结束

改进：

① i= a(或b)

② 若a，b能同时被i整除，则i即为最大公约数，

结束

③ i--，再回去执行②

#include<stdio.h>
void main ()  /* 穷举法求最大公约数 */
{
   int  m, n, a, b, i, t;
   printf("Input two integer numbers:
");
   scanf ("%d,%d", &a, &b);
 m=a;  n=b;
   for (i=1; i<= a; i++)
       if ( a%i == 0 && b%i ==0 )    t=i;
   printf("The largest common divisor:%d
", t);
   printf("The least common multiple:%d
", m*n/t);
}
/*  改进后的
   for (t= a; t>0; t-- )
       if ( a%t == 0 && b%t ==0 )    break;
*/

//穷举法求最小公倍数
     for (i= a; ; i++ )
         if ( i % a == 0 && i % b ==0 )     break;
     printf("The least common multiple:%d
", i )

//多个数的最大公约数和最小公倍数
     for (i= a; i>0; i-- )
         if (a%i==0&&b%i==0&&c%i==0)     break;
     printf("The largest common divisor:%d
", i);
     for (i= a; ; i++ )
         if (i%a==0&&i%b==0&&i% c==0)    break;
     printf("The least common multiple:%d
", i )

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算法分析：

相除法和相减法的区别在于：

（1）都是求最大公因数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。

常用结论：

在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：
（1）如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。
例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
（2）如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。
例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
（3）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。
例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。
（4）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

参考资料：

http://blog.163.com/xiaoting_hu/blog/static/5046477220136491243567/