一、功能
用快速傅里叶变换计算两个有限长序列的快速卷积。
二、方法简介
设序列(x(n))的长度为(M)，序列(y(n))的长度为(N)，序列(x(n))与(y(n))的线性卷积定义为
[z(n)=sum_{i=0}^{M-1}x(i)y(n-i) , n=0,1,...,M+N-2
]
用快速傅里叶变换计算线性卷积的算法如下
1、选择(L)满足下述条件
[left{egin{matrix}egin{align*}L &geqslant M + N - 1\ L &= 2^{gamma }, gamma is a positive integerend{align*}end{matrix}
ight.
]
2、将序列(x(n))与(y(n))按如下方式补零，形成长为(L = 2^{gamma })的序列
[egin{matrix}x(n)=left{egin{matrix}egin{align*}x(n) &, n=0,1,...,M-1 \ 0 &, n=M,M+1,...,L-1end{align*}end{matrix}
ight.\ end{matrix}
]
[egin{matrix}y(n)=left{egin{matrix}egin{align*}y(n) &, n=0,1,...,N-1 \ 0 &, n=N,N+1,...,L-1end{align*}end{matrix}
ight.\ end{matrix}
]
3、用FFT算法分别计算(x(n))与(y(n))的离散傅里叶变换(X(k))与(Y(k))
[egin{matrix}X(k)=sum_{n=0}^{L-1}x(n)e^{-j2pi nk/L}\ Y(k)=sum_{n=0}^{L-1}y(n)e^{-j2pi nk/L}end{matrix}
]
4、计算(X(k))与(Y(k))的乘积
[Z(k)=X(k)Y(K)
]
5、用FFT算法计算(Z(k))的离散傅里叶反变换，得到卷积(z(n))
[z(n)=frac{1}{L}sum_{k=0}^{L-1}Z(k)e^{j2pi nk/L}, n=0,1,...,L-1
]
序列(z(n))的前(M+N-1)点的值就是序列(x(n))与(y(n))的线性卷积。
三、使用说明
快速卷积的C语言实现方式如下
/************************************
x ----双精度一维数组，长度为len。开始时存放实序列x(i)，最后存放线性卷积的值。
y ----双精度一维数组，长度为n。开始时存放实序列y(i)。
m ----数据长度，序列x(i)的长度。
n ----数据长度，序列y(i)的长度。
len ----线性卷积长度，len≥m+n-1，且必须是2的整数次幂，即len=2^gamma。
************************************/
#include "rfft.c"
#include "irfft.c"
void convol(double *x, double *y, int m, int n, int len)
{
int i, len2;
double t;
for(i = m; i < len; i++)
x[i] = 0.0;
for(i = n; i < len; i++)
y[i] = 0.0;
rfft(x, len);
irfft(y, len);
len2 = len / 2;
x[0] = x[0] * y[0];
x[len2] = x[len2] * y[len2];
for( i = 1; i < len2; i++){
t = x[i] * y[i] - x[len - i] * y[len - i];
x[len - i] = x[i] * y[len - i] + x[len - i] * y[i];
x[i] = t;
}
irfft(x, len);
}
其中rfft.c文件请参考实序列快速傅里叶变换（一）
irfft.c在rfft.c的基础上添加系数长度的倒数。