一、功能
产生拉普拉斯分布的随机数。
二、方法简介
1、产生随机变量的组合法
将分布函数(F(x))分解为若干个较为简单的子分布函数的线性组合
[F(x)=sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x)
]
其中 $ p_{i}> 0 (forall i) $ ，且 $ sum_{i=1}^{K}p_{i}=1 $ ，(F(x))是分布函数。
定理 若随机变量(xi sim s)离散分布(left { p_{i} ight })，即(P(xi =i)=p_{i})，并且(z sim F_{xi }(x))，取(z=x)，则(z sim F(x) = sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(x))
证明 (z)的分布函数为
[P(z leqslant t) = P((z leqslant t) cap igcup_{i=1}^{K}( xi = i)) \
= sum_{i=1}^{K}P(z leqslant t, xi =i) \
= sum_{i=1}^{K}P(xi = i)P(z leqslant t mid xi =i) \
= sum_{i=1}^{K}p_{i}F_{i}(t)=F(t)
]
定理证毕。
根据此定理，我们给出产生随机数的组合算法如下：
- 产生一个正随机数(xi)，使得(P(xi = i) = p_{i} (i = 1,2,...,K))；
- 在(xi = i)时，产生具有分布函数(F_{i}(x))的随机变量(x)。
该算法中首先以概率(p_{i})选择子分布函数(F_{i}(x))，然后取(F_{i}(x))的随机数作为(F(x))的随机数。
2、产生拉普拉斯分布随机数的方法
拉普拉斯分布的概率密度函数为
[f(x) = frac{1}{2eta }e^{-frac{left | x
ight |}{eta }}
]
Laplace分布的均值为0，方差为(2eta ^{2})。拉普拉斯分布也称为双指数分布。
根据上述的组合算法，产生拉普拉斯分布随机数的方法为：
- 产生均匀分布的随机数(u_{1})和(u_{2})，即(u_{1},u_{2} sim U(0,1))；
- 计算(x = left{egin{matrix} -eta ln(1 - u_{1}) & u_{1} leqslant 0.5 \ eta ln(u_{2}) & u_{2} > 0.5 end{matrix} ight.)
三、使用说明
使用C语言实现产生拉普拉斯分布随机数的方法：
#include "math.h"
#include "uniform.c"
double laplace(double beta, long int *s)
{
u1 = uniform(0.0, 1.0, s);
u2 = uniform(0.0, 1.0, s);
if(u1 <= 0.5)
x = -beta * log(1.0 - u2);
else
x = beta * log(u2);
return(x);
}
uniform.c文件参见均匀分布的随机数