欧拉定理

费马小定理

定理

若 (p) 为素数，得：

[large a^{p-1} equiv 1 pmod{p},a ot p ]

证明

考虑对于 (p-1) 个数 (a mod p,2a mod p,dots,(p-1)a mod p)，其中 (a ot p)。根据 (ac equiv bc pmod{m} Leftrightarrow a equiv b pmod{m}) 得这 (p-1) 个数互不相同，再由抽屉原理得这 (p-1) 个数构成了模 (p) 的一个完全剩余系，即其排序后为 (1,2,dots,p-1)。由此得：

[large a imes 2a imesdots imes(p-1)a equiv (p-1)!a^{p-1} equiv (p-1)! pmod{p} ]

因为 ((p-1)!) 不能被 (p) 整除，所以得 (a^{p-1} equiv 1 pmod{p},a ot p)。

欧拉函数

概念

欧拉函数 (varphi(n)) 表示小于等于 (n) 且和 (n) 互质的数的个数。

性质

欧拉函数为积性函数
(varphi(p)=p-1) 其中 (p) 为素数。
(varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)) 其中 (p) 为素数。将 (p^k) 分成长度为 (p) 的 (p^{k-1}) 段后，得每一段和 (p^k) 互质的数个数为 (p-1)，所以总个数为 (p^{k-1}(p-1))。
由算术基本定理得，(n=prod p_i^{k_i}) 其中 (p_i) 为素数，得 (varphi(n)=nprodfrac{p_i-1}{p_i}=nprod(1-frac{1}{p_i}))。

[largeegin{aligned} varphi(n) &= prod varphi(p_i^{k_i}) \ &= prod p_i^{k_i-1}(p_i-1) \ &= prod p_i^{k_i}(1-frac{1}{p_i}) \ &= nprod (1-frac{1}{p_i}) \ end{aligned} ]
(sumlimits_{d mid n} varphi(d) = n)，即 (varphi imes 1 = id)。
[largesumlimits_{i=1}^ni[i ot n]=frac{n varphi(n)+epsilon(n)}{2} ]
考虑到当 (n>1) 时，因为与 (n) 互质的数总是成对出现，即若 (i) 与 (n) 互质，(n-i) 与 (n) 也互质，每对的和都为 (n)，这样的数对个数为 (frac{varphi(n)}{2})，(n=1) 时特殊处理即可。

欧拉定理

定理

[large a^{varphi(m)} equiv 1 pmod{m},aot m ]

证明

和费马小定理的证明类似。

考虑对于 (varphi(m)) 个数 ({ ka mod m mid k ot m , 0 leqslant k < m})，其中 (a ot m)，根据抽屉原理得其构成了模 (m) 的一个简化剩余系，即为 ({ k mid k ot m , 0 leqslant k < m })，将这 (varphi(m)) 个数连乘得：

[large a^{varphi(m)} prod_{k ot m , 0 leqslant k < m} k equiv prod_{k ot m , 0 leqslant k < m} k pmod{m} ]

因为 (prodlimits_{k ot m , 0 leqslant k < m} k) 不能被 (m) 整除，所以得 (a^{varphi(m)} equiv 1 pmod{m},aot m)。

扩展欧拉定理

定理

[large a^b equiv egin{cases} a^{b mod varphi(m)} & a ot m \ a^b & a ot ot m , b < varphi(m) \ a^{b mod varphi(m) + varphi(m)} & a ot ot m , b geqslant varphi(m) end{cases} pmod{m} ]

由欧拉定理 (a^{varphi(m)} equiv 1 pmod{m},aot m)，第一和第三个式子可以合并：

[large a^b equiv a^{b mod varphi(m)+varphi(m)} pmod{m},b geqslant varphi(m) ]

证明

考虑 (m) 的一个质因子 (p)，得 (m=sp^k,s ot p)，由欧拉定理得 (p^{varphi(s)} equiv 1 pmod{s})。因为欧拉函数为积性函数，得 (varphi(s) mid varphi(m))，所以 (p^{varphi(m)} equiv 1 pmod{s})，同乘 (p^k) 得 (p^{varphi(m)+k} equiv p^k pmod{m})，得：

[large p^b equiv p^{b-k}p^k equiv p^{varphi(m)+b} pmod{m},b geqslant k ]

因为 (varphi(m) geqslant k)，所以 (p^b equiv p^{varphi(m)+b} pmod{m},b geqslant varphi(m))，得：

[ large p^b equiv p^{b-varphi(m)} pmod{m},b geqslant 2varphi(m) ]

结合 (b geqslant varphi(m)) 的情况，得：

[large p^b equiv p^{b mod varphi(m)+varphi(m)} pmod{m},b geqslant varphi(m) ]

考虑质因子的幂：

[large (p^k)^b equiv p^{varphi(m)+kb} equiv p^{kvarphi(m)+kb} equiv (p^k)^{varphi(m)+b} equiv (p^k)^{b mod varphi(m)+varphi(m)} pmod{m},b geqslant varphi(m),k > 0 ]

再由算术基本定理 (a=prod p_i^{k_i}) 合并即可，若 (p_i) 不是 (m) 的质因子，就直接应用欧拉定理。

应用

利用扩展欧拉定理，可以处理快速幂取模，即对指数取模，例如【模板】扩展欧拉定理，上帝与集合的正确用法，黑暗打击。

[large a^b mod m ]

其中 (b) 很大，达到 (10^{20000000})。

ll qp(ll x,ll y)
{
    ll v=1;
    while(y)
    {
        if(y&1) v=v*x%m;
        x=x*x%m,y>>=1;
    }
    return v%m;
}
ll get_phi(ll x)
{
	ll v=x,t=sqrt(x);
	for(int i=2;i<=t;++i)
    {
		if(x%i) continue;
		v=v*(i-1)/i;
		while(x%i==0) x/=i;
	}
	if(x>1) v=v*(x-1)/x;
	return v;
}

......

read(a),read(m),phi=get_phi(m);
scanf("%s",s+1),len=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=len;++i) 
{
    b=((b<<1)+(b<<3)+(s[i]^48));
    if(b>=phi) b%=phi,flag=true;
}
if(flag) b+=phi;
printf("%lld",qp(a,b));