一.记号 (Notation)
我们将 (sumlimits_{P(k)} a_k) 记作满足满足性质 (P(k)) 的所有 (a_k) 之和，其中 (a_k) 称为被加数
- 艾弗森约定：([ P(k) ]= egin{cases} 0& {P(k)=false}\ 1& {P(k)=true} end{cases})
这使得我们可以不加限制条件地表示和式.
于是有（和式的不同表示方法）：(sumlimits_{i=1}^n{a_i}=sumlimits_{1 leq i leq n}{a_i}=sumlimits_{i} a_k[1 leq i leq n])
二.和式与递归式 (Sums) (and) (Recurrences)
（1）和式与递归式的联系
- (ForExample:)
和式 (sumlimits_{i=1}^n{a_i}) 等价于递归式 (S_0=a_0;\S_n=S_{n-1}+a_n.)
(2) 线性递归式的处理方法
我们希望把任意形如 (a_nT_n=b_nT_{n-1}+c_n) 的递归式（即线性的递归式）转化成和式以求出 (T_n)，主要思想在于利用一个求和因子 (s_n) 来乘两边，有
其中 (s_n) 需使得 (s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1})，那么记 (S_n=s_na_nT_n) ，于是有
那么有
于是原递归式的解为
这个方法的主要技巧即在于把 (T_n) 转为 (S_n) .
那么问题来了，我们如何求出适当的 (s_n) 使它满足 (s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}) ？
我们将这个式子展开，就有 (s_n=frac{a_{n-1} a_{n-2}...a_1}{b_n b_{n-1}...b_2})，只需使得 (s_n) 是这个式子的任意常数倍即可
三.和式的处理 (Manipulations) (of) (Sums)
(1)加法基本定律(?)
- 分配律：(sumlimits_{k in K}{ca_k}=csumlimits_{k in K}{a_k})
- 结合律：(sumlimits_{k in K}{*(a_k + b_k)}=sumlimits_{k in K}{a_k} + sumlimits_{k in K}{b_k})
- 交换律：(sumlimits_{k in K}{a_k} = sumlimits_{p(k) in K}{a_{p(k)}})
[FBI Warning]一般的交换律中的函数(p(k))，都是假设所有整数的排列，即对于每一个整数(n)都恰好存在一个整数(k)，使得(p(k)=n)。
那么高斯在他7岁时发现的“高斯求和法”就可看做是这三条定律的综合应用：
(2)和式的基本操作
记等差级数(S=sumlimits_{i=0}^n{(a+bi)})，
由交换律，用((n-i))代替(i)，(S=sumlimits_{0 leq n-i leq n}{(a+b(n-i))}=sumlimits_{i=0}^n{(a+bn-bi)})
由结合律，二式相加有(2S=sumlimits_{i=0}^n{(2a+bn)})
再结合分配律，最后两边约去2，有(sumlimits_{i=0}^n{(a+bi)}=(n+1)(a+frac{bn}{2}))
我们同样也可以利用这样的定律导出和式的其他性质，例如：
(3)和式的简单性质
(sumlimits_{k in K}a_k+sumlimits_{k in K'}a_k=sumlimits_{k in K cap K'}a_k+sumlimits_{k in K cup K'}a_k)，
这是由(sumlimits_{k in K}a_k=sumlimits_{k}{a_k[k in K]}) 以及 ([k in K]+[k in K']=[k in K cap K']+[k in K cup K'])推出的
(4)扰动法
扰动法的基本思想，是通过分离(S_{n+1})的最前面一项和最后面一项，用两种方法改写他，并尝试用(S_n)表示后面一种的改写方法，这样我们就得到一个方程，他的解即为我们所求的和式，具体是这样：
设 (S_{n}=sum_{0 leq k leq n} a_{k})，则：
(quad S_{n}+a_{n+1})
(quad=sumlimits_{0 leq k leq n+1} a_{k})
(quad=a_{0}+sumlimits_{1 leq k leq n+1} a_{k})
(quad=a_{0}+sumlimits_{1 leq k+1 leq n+1} a_{k+1})
(quad=a_{0}+sumlimits_{0 leq k leq n} a_{k+1})
尝试用 (S_n) 表示 (a_{0}+sumlimits_{0 leq k leq n} a_{k+1})，解这个方程即可
例如：我们来用扰动法来求一般的几何级数 (S_n=sumlimits_{0 leq k leq n}{ax^k})，有：
(S_n+ax^{n+1}=ax^0+sumlimits_{0 leq k leq n}{ax^{k+1}}=a+xsumlimits_{0 leq k leq n}{ax^k}=a+xS_n)
整理得(S_n+ax^{n+1}=a+xS_n)，解之得 (S_n=frac{a-ax^{n+1}}{1-x},x
eq 1)
对这个东西两边分别对(x)求导，可以得到关于(sumlimits_{k=0}^n{kx^k})的封闭形式，此处不多赘述
四.多重和式 (Mutiple) (Sums)
(1)定义
如果同时有两个以上的指标（例如(j,k)）指定一个和式的项，可以用艾弗森约定这么表示：
(2)简易交换和号
我们一般利用多重和号来表示这样的式子，那么又有
我们将这个东西称为“交换和号”
同时还有多重和号的分配律，即
我们可将其看做简易型的交换和号
(3)复杂交换和号
这里讨论的是内和的范围与外和的指标变量有关的情形，例如：
它在 ([j in J][k in K(j)]=[k in K'][j in J'(k)]) 的前提下满足
我们有一个很有用的式子：([1 leq j leq n][j leq k leq n]=[1 leq j leq k leq n]=[1 leq k leq n][1 leq j leq k])
接下来我们来看一个应用：
(4)应用
我们希望对 (S=sumlimits_{1 leq j leq k leq n}{a_ja_k}) 求出一个简单的封闭形式
有：(S=sumlimits_{1 leq j leq k leq n}{a_ja_k}=sumlimits_{1 leq k leq j leq n}{a_ka_j}=sumlimits_{1 leq k leq j leq n}{a_ja_k}=S')
又由于([1 leq j leq k leq n]+[1 leq k leq j leq n]=[1 leq j,k leq n]+[1 leq j=k leq n])，则有
(2S=S+S'=sumlimits_{1 leq j,k leq n}{a_ja_k}+sumlimits_{1 leq j=k leq n}{a_ja_k})
其中第一个和式等于(left(sumlimits_{j=1}^n a_{j} ight)left(sumlimits_{k=1}^n a_{k} ight)=(sumlimits_{k=1}^n{a_k})^2)
第二个和式等于(sumlimits_{k=1}^na_k^2)，
整理即可得出 (S) 的简单封闭形式
五.有限微积分 (Finite) (Calculus)
- 算子：吃进去函数吐出来函数的东西
- 泛函：吃进去函数吐出来数的东西
(1)无限微积分与有限微积分
无限微积分基于由(Df(x)=limlimits_{Delta x o 0}{frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}})所定义的微分算子 (D) 的性质(其实就是(f'))
有限微积分基于由(Delta f(x)=f(x+1)-f(x))所定义的差分算子 (Delta) 的性质
我们可以将有限微积分看作无限微积分的有限模拟，它限制了只能取 (Delta x)的正整数值
在高中，我们有(D(x^m)=mx^{m-1})，我们来看看有限微积分是否也有类似的性质，但是没有.
但是有另一类幂可以在(Delta)的作用下很好地变换，让我们来看看
(2)下降幂
下降幂 (x^{underline{m}}=x(x-1)(x-2)...(x-m+1)，m geq 0)，读作“(x)直降(m)次”
相应的，也有上升幂(x^{overline{m}}=x(x+1)(x+2)...(x+m-1)，m geq 0)，读作“(x)直升(m)次”
下降幂在斯特林数与组合数中有许多应用，并且斯特林数可处理一般幂与下降幂的许多转换，此处不赘述
那么，我们有(Delta(x^{underline{m}})=mx^{underline{m-1}})，直接展开差分即可得证
(3)逆差分算子 (sum)
无限微积分中算子(D)有相应的逆微分算子(displaystyle int)（或积分算子），微积分基本定理则将他们联系起来：
（在高中课本内不列出(C)是因为(F(b)-F(a))的过程中将(C)抵消了，故只取最简单的原函数(F(x))）
类似地，有限微积分中算子(Delta)有相应的逆差分算子(sum)（或求和算子），他也有一个类似的基本定理：
那么，无限微积分有定积分(displaystyle int_{a}^b{f(x)dx}=F(x)|_a^b=F(b)-F(a))
类似地，有限微积分也有确定的和式 (sum_a^b{f(x)delta x}=F(x)|_a^b=F(b)-F(a))
那么这里运用类比的手法方法给出了(sum_a^b{f(x)delta x})的定义，我们希望得到直观上的真正含义
通过数学归纳法，我们可以得到当 (a,b in Z) 且 (a leq b) 时，有
(sum_a^b{f(x)delta x}=sumlimits_{k=a}^{b-1}f(k)=sumlimits_{a leq k < b}f(k))
运用上面的定义，我们可以来做一些事情
例如计算下降幂的简单方法：(sumlimits_{0 leq k < n}{k^{underline{m}}}=frac{k^{underline{m+1}}}{m+1}|_0^n=frac{n^{underline{m+1}}}{m+1})
这个优秀的性质可以给我们很多有趣的结果，例如我们知道：
(k^2=k^{underline{2}}+k^{underline{1}})，于是我们可以推出：
这可以成为我们计算平方和的另一种巧妙方法
对于负指数的下降幂，我们也有定义:(x^{underline{-m}}=frac{1}{(x+1)(x+2)...(x+m)})
六.无限和式 (Infinite) (Sums)
- 不会，咕了