线段树（二）：区间修改

上一节介绍了点修改与区间查询的线段树，事实上，线段树还可以做得更多。本节讨论区间修改问题。

给出一个$n$个元素的数组$A_1,A_2,...,A_n$，你的任务是设计一个数据结构，支持以下两种操作：

$Add(L,R,v)$：把$A_L,A_{L+1}, ..., A_R$的值全部增加$v$
$Query(L, R)$：计算子序列$A_L,A_{L+1},...,A_R$的元素和、最大值和最小值

点修改只会影响到$logn$个结点，但区间修改在最坏情况下会影响到树中的所有结点，比如，如果对整个区间执行$add$操作，所有结点的$sum$都会发生改变。怎么办呢？

回忆前面区间查询时的一个结论：任意区间都能分解成不超过$2h$个不相交区间。利用这个结论，我们可以“化整为零”，把一个$add$操作分解成不超过$2h$个操作，记录在线段树的结点中。

维护的信息也需要发生改变，如果仍然用$sum[o]$表示“结点$o$对应区间中所有数的和”，则$add$操作在最坏情况下会修改所有的$sum$（不管$add$有没有分解）。解决方法是把$sum[o]$的定义改成“如果只执行结点$o$及其子孙结点的$add$操作，结点$o$对应区间中所有数之和”。这样的附加信息仍可以方便地维护，而且每个原始$add$所影响到的结点数目变成了$O(h)$。

维护的代码如下：

 1 void maintain(int o, int L, int R)
 2 {
 3     if(L == R)  minv[o] = a[L]; //如果是叶子结点
 4     else  minv[o] = min(minv[2*o], minv[2*o+1]);    //如果是非叶子结点
 5     minv[o] += addv[o];     //考虑add操作
 6 }
 7 
 8 int cl, cr, v;  //区间修改，[cl,cr] += v;
 9 void update(int o, int L, int R)  //
10 {
11     int M = L + (R-L) /2;
12     if(cl <= L && R <= cr)  addv[o] += v;
13     else
14     {
15         if(cl <= M)  update(2*o, L, M);
16         if(cr > M)  update(2*o+1, M+1, R);
17     }
18     maintain(o, L, R);
19 }

注意，此时add操作的递归边界结点的minv是对的，其子节点（即子区间）的minv是不准确的，因为没有考虑add操作的影响。

查询操作总体上跟之前相同，但是还得考虑祖先结点对其的影响。因此，我们在递归查询中添加一个参数$add$，表示当前区间的所欲祖先结点$add$值之和（不包括本身，因为本身的add标记在maintain已考虑），方法如下：

 1 int ql, qr;     //区间查询,min{ql,qr}
 2 int query(int o, int L,int R, int add)
 3 {
 4     int M = L + (R - L) / 2;
 5     if(ql <= L && R <= qr)  return minv[o] + add;
 6     else
 7     {
 8         int ans = INF;
 9         add += addv[o];
10         if(ql <= M)  ans = min(ans, query(2*o, L, M, add));
11         if(qr > M)  ans = min(ans, query(2*o+1, M+1, R, add));
12         return ans;
13     }
14 }

建树的操作与点修改一模一样，不再赘述。