问题
在圆上任取$n$个点，将每对点用直线连接起来，并规定任意三条线不能交于同一点，这些直线会将圆分割成多少份？
首先我们列出简单情况来寻找规律：
- 2个点将圆分成2份
- 3个点将圆分成4份
- 4个点将圆分成8份
- 5个点将圆分成16份
看来这个数列的规律非常明显：每增加一个点，分割的份数都将乘2。然而，当点数增加到6个的时候，分割的份数不是我们预料的32，而是31。
为了找到这个数列的通项公式，我们使用欧拉示性数公式（Euler’s Characteristic Formula）来进行推导：
$$V-E+F=2$$
这个公式的意思是，在任何联通平面简单图中，顶点数减边数加上面数等于2。
为了利用这个公式得到分割的份数（即为面数），我们需要先求出顶点和边的数量。
首先求顶点数：圆内的每个交点都对应圆上的4个点交叉相连，因此圆内的交点共有$C_n^4$个，加上圆上的$n$个点，因此$V=n+C_n^4$。
再求边数：圆内的那个交点的度数（度数是与点相连的边的个数）为4，圆上的点都与除此之外的每个点相连，因此度数是$n-1$，所以总度数为$4*C_n^4+n*(n-1)$，由于每条边对于总度数的贡献为2，再加上连接圆上顶点的弦的数目，最后得边的数量$E=2*C_n^4+C_n^2+n$。
将结果带入欧拉公式，并考虑园外区域也算一个面，则分割的份数为：
$$egin{aligned}
F-1 &= E-V+2-1 \
&= (2*C_n^4+C_n^2+n)-(n+C_n^4)+1 \
&= C_n^4+C_n^2+1
end{aligned}$$
由排列组合公式，上式可以继续分解：
$$C_n^4+C_n^2+1 = C_{n-1}^4+C_{n-1}^3+C_{n-1}^2+C_{n-1}^1+C_{n-1}^0$$
这也就解释了当$n<6$时结果总是成2的幂。
参考链接：