概率论与数理统计（一）—— 随机事件与概率

随机试验与事件

随机试验：为观察随机现象而进行的实验称为随机试验，随机试验应满足以下3个特征：

样本空间：随机事件所有可能的集合组成样本空间，用Ω表示

基本事件：随机试验中的一个可能结果。也称样本点，即样本空间中的一个元素。是最小的划分单元

事件：也称复合事件，包含多个基本事件。是样本空间的子集

事件域：若A、B是事件，则A、B的交、并、差也应该是事件，这些事件放在一起称为事件域

注：基本事件中有两个特别的事件。必然事件，用Ω表示（是不是发现跟样本空间的表示一样，这是因为样本空间表示的事件是必然事件）。不可能事件，用Ø表示

事件本来就是样本空间的子集，所以事件的关系就是集合的关系，事件的运算就是集合的运算。省略。

不相容：若A∩B = Ø，则称A和B不相容，或称互斥，即A、B不会同时发生

完备事件组：若A₁∪A₂∪...∪A_n = Ω，且A_i∩A_j = Ø，则称{A₁、A₂、...A_n} 为一个完备事件组

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫出版了《概率论基础》，首次将概率论建立在严格的公理基础上

概率的定义：

非负性：P(A) ≥ 0
规范性：P(Ω) = 1
可列可加性：任何可列的无穷个互不相容的事件A₁、A₂、...A_k....,有$$P({cup}_{k=1}^∞A_k) = sum_{k=1}^∞P(A_k)$$

概型即概率模型，古典概型是最简单也是最重要的概率模型。

古典概型：试验只有有限个可能的结果；每个基本事件发生的可能性相同。

其概率计算公式：$P(A) = frac{A中元素的个数}{Ω中元素的个数} $

几何概型：试验所有可能的结果形成一个有界区域Ω；对Ω的每个子集A，试验结果落入A的概率与A的测度S(A)成正比，而与A的位置和形状无关。（其实就是等概率）

条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率

其计算公式$P(A | B) = frac{P(AB)}{P(B)}$

根据条件概率公式很容易得到乘法公式，乘法公式：$P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)$

可以推广到3,...,n，例如$P(A_1A_2A_3)=P(A_1)·P(A_2|A_1)·P(A_3|A_2A_1)$

对Ω进行一个划分{B₁、B₂,...B_n}(当然也可以是无限个)，B₁∪B₂∪...B_n = Ω，且B_i∩B_j = Ø，即{B₁、B₂、...B_n} 是一个完备事件组。P(B_i) > 0,即这个子集非空。

$P(A)\=P(Acdot Omega)\=P(AB_1cup AB_2cup ... cup AB_n)\=sum _{i=1}^nP(AB_i)\=sum_{i=1}^nP(B_i)cdot P(A|B_i)$

全概率公式表示事件A发生的概率等于各因种原因发事件A的总和，而贝叶斯公式则是已知事件A发生，求从某种原因下发生事件A的概率。公式本身并不难，但需要多加运用才能熟练。

$P(B_j|A)\=frac{P(B_jA)}{P(A)}\=frac{P(B_j)cdot P(A|B_j)}{P(A)}\=frac{P(B_j)cdot P(A|B_j)}{sum_{i=1}^nP(B_i)cdot P(A|B_i)}$

通常将$P(B_i)$称为先验概率，$P(A|B_i)$称为后验概率