一、代数结构
代数运算
代数运算的定义：设A是非空集合，n∈I+,函数f:An->A称为A上的一个n元运算，n称为该运算的阶，特别的，A中的每个元素称为A上的0元运算。
代数运算的性质
封闭性：设°是集合A上的n元运算，S是A的非空子集。若 ∀a1,a2,..,an∈S,有°(a1,a2,...,an)∈S,则称S关于运算°是封闭的。
可交换的：设*是集合A上的二元运算，若∀a,b∈A,有a*b = b*a,则称*是可交换的，或称*满足交换律
可结合的：设*是集合A上的二元运算，若∀a,b，c∈A,有(a*b)*c = a*(b*c),则称*是可结合的，或称满足结合律
分配律：设*和°是集合A上的二元运算。若∀a,b，c∈A,有a*(b°c) = (a*b)°(a*c),则称*关于°是左可分配的。若∀a,b，c∈A,有(b°c)*a = (b*a)°(c*a),则称*关于°是右可分配的。
若*关于°既是左可分配又是右可分配的，则称*关于°满足分配律。（由这个定义可以看出，在分配律中，*和°地位是相等的）
定理：设*是集合A上可结合的二元运算，则∀n∈I+,∀a1,a2,..,an∈A,表达式a1*a2*..*an经过任意加括号而计算的结果不变。
定理：若*是集合A上可结合的二元运算，则∀a∈A及∀m,n∈I+,有am * an = am+n,(am)n = amn.
特殊元素的定义与性质
左幺元：若存在ョel∈A,使得∀a∈A，有el * a = a,则称el为关于*的左单位元，也称左幺元
右幺元：若存在ョer∈A,使得∀a∈A，有a * er = a,则称er为关于*的左单位元，也称右幺元
幺元：若存在ョe∈A,使得∀a∈A，有e * a = a * e = a,则称e为关于*的单位元，也称幺元
左逆元：若存在ョal∈A,使得∀a∈A，有al * a = e,则称al为关于*的左逆元
右逆元：若存在ョar∈A,使得∀a∈A，有a * ar = e,则称ar为关于*的右逆元
逆元：若存在ョa’∈A,使得∀a∈A，有a’ * a = a * e = a,则称a’为关于*的逆元
消去率：设*是集合A上的二元运算，a∈A。若∀x,y∈A,a*x = a *y ⇒ x=y,则称a关于*是左可约的。若∀x,y∈A,x*a = y*a ⇒ x=y,则称a关于*是右可约的。若∀a∈A，a关于*都是可约的，则称*满足消去率。
定理：设*是集合A上的二元运算，el和er分别是关于*的左、右单位元，则el = er,且它是关于*的唯一单位元。同理有零元存在必唯一、逆元存在必唯一。
代数系统
定义：设S为非空集合，*1，*2，...,*n为S上的代数运算，则称<S,*1,*2,...,*n>为一个代数系统或代数结构，并称S为该代数系统的定义域。若S为有限集，则称<S,*1,*2,...,*n>为有限代数系统，并称|S|为该代数系统的阶.
运算表
各种性质在运算表中的规律：
- 封闭性：运算表中每个元素都属于A
- 可交换性：所有元素关于主对角线对称
- 具有等幂性：主对角线上的每个元素与所在行（列）的表头元素相同
- 有零元：该元素所在的行和列中的元素都与该元素相同
- 有单位元：该元素所在的行和列中的元素分别与运算表的行和列表头元素相同
二、半群与亚群
半群和亚群的定义
半群：设<S,·>为代数系统，若·是可结合的二元运算，则称<S,·>为半群。
亚群：设<M,·>为半群，若关于·有单位元e，则称<M,·>为亚群，也称含幺子群或者独异点。（在强调单位元时，可记作<M,·,e>）
可交换半群（亚群）：若半群（亚群）<S,·>中的运算·是可交换的，则称<S,·>为可交换半群（亚群）。
半群和亚群的性质
定理：设<S,·>是一个半群，如果S是一个有限群，则必有a∈A,使得a*a=a
证：由于<S,·>是半群，对于任意x∈A,考察序列x,x2,..,xn+1,...,必有xi = xj,1 ≤ i < j,令j - i = l,
(a)若j > 2i,记a = xj-i,则有a * a = a
(b)j ≤ 2i,存在正整数m,使得m*l > i,于是xi = xj+m*l,j + m*l > 2i,又转化为情形(1)
三、群的定义与性质
群的定义
定义：满足一下四个条件的代数结构称为群：(1)封闭性 (2)可结合的 (3)存在单位元 (4)存在逆元
若群中的运算还满足交换性，则称其为交换群或阿贝尔群。
有限群：设G是一个群，如果G是有限集，则称(G,·)为有限群，G中元素的个数称为阶数。
群的判定：
- 有左单位元，即∃el ∈G,使得∀a∈G，el * a = a
- 每个元素有左逆元
- 则<G,*>是群
群的性质
定理：假设G是一个群，对G中任意元素a，其逆元是唯一的
定理：(消去律)假设G是群，a,b∈G则
- 若ab = ac,则b = c(左消去律)
- 若ba = ca,则b = c(右消去律)
定理：设G是群，a,b∈G,则
- ∀a，b∈A,(a*b)-1 = b-1 * a-1;
- ∀a,b∈G，方程a*x = b和y*a = b在G中有唯一解
- (a-1)-1 = a
- G中消去律成立
定理：设G是一个群，则在关于运算*的运算表中任何两行和两列都是不相同的，而且每行和每列都是G中元素的一个转置
证：(1)先证明前面一部分，从每行（列）看，与e所在行（列）相交的元素与表头相同，相互之间不同，因为表头每个元素是不相同的
（2）证明为一个置换，等价于每行（列）元素两两不同。考察第a行，若ab = ac，则由消去律b = c,矛盾
定理：设G是有限群，对任意a∈G，存在正整数r，使得ar = e.
证：设|G| = n,a,a2,...,an+1中必有两项相同，不妨假设am = al,1≤m≤l≤n+1,令l - m = r,于是由消去律知ar = e
定理：设G是有限群，对任意a∈G，存在正整数r，使得ar = a-1.
证：由上一个定理知，存在r,使得ar = e,则由消去律得ar-1 = a-1。若r-1>0,则结论得到证明。若r-1≤0,r为正整数，则r-1=0,a = e,所以ar = e = a-1.
子群
定义：假设G是一个群，H∈G是G的一个子群，如果H在G的运算·下也构成群，则称(H,·)是(G,·)的一个子集(subgroup),记作H≤G
显然<{e},·>, <{G},·>都是<G,·>的子群，它们称为<G,·>的平凡子群，而其它子群称作非平凡子群。
判定：
- H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H,且h1-1∈H
- H是G的有限非空集，则H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H
- H是G的子群当且仅当∀h1,h2∈H,有h1*h2-1∈H
群同态与群同构
定义：设<G1,*>和<G2,·>是群，函数h:G1->G2，若∀a，b∈G1，有h(a*b) = h(a)·h(b)，则称h为<G1,*>到<G2,·>的群同态。若h是双射，则称h为群同构
简单的说就是，先运算再映射与先映射再运算是一样的。其次，群同构是一种等价关系。
自同构：假设<G,*>是群，若函数f是从<G,*>到<G,*>的同构，则称f是自同构
一种经典的同构例子：
克莱因四元群和<φ{1,2},⊕>是同构的
其中f的定义为f(e) = Ø，f(a) = {1},f(b) = {2},f(c) = {1,2}
参考链接：中国大学mooc 刘铎 离散数学