如何用整数规划求解NP完全问题

一、NP完全问题

NP完全问题是一类具有非常高难度的组合最优化问题，所有NP完全问题都是NP难问题。虽然P问题是比较容易的问题， NP问题却不一定是困难问题，必须看见NP完全或者NP难这样的字才能说这个问题求解起来很困难。

经常听砖家说，NP完全/NP难问题不能用整数规划求解。实际情况怎样？实事证明砖家的话只能信一半：）。这里咱就看看用整数规划求解一个NP完全问题行也不行。

这里有一个货真价实的整数规划问题——划分问题（The partition problem）。问题是：给定一个大小不等的整数集合，问是否可以把这些整数划分成两个集合，任何一个整数或者在集合S1中或者在S2中，但不能同时在两个集合中；对任意给的一个整数集合，请设计算法，解决是否存在一个划分，使得S1种整数之和恰好等于S2集合的整数之和。

二、建立整数规划模型

对每个整数定义一个0-1变量xi, xi=1 表示第i个整数位于集合S1中， xi=0表示第i个整数位于S2中。用s1表示第一集合的整数之和，用s2表示第二个集合里的整数之和。即：

设d是s1和s2之间差的绝对值。于是：

我们只要极小化d就可以了，即：

完整模型：

三、上面的模型的文本表达

上面的模型不只是用来摆摆看的，还可以真的被求解哈。我们需要把模型写成文本格式（Leapms建模语言格式），让计算机理解。目标函数就写成

min d

加上其余约束部分（注意西格玛符合的写法）

subject to
    s1=sum{i=1,...,n}x[i]S[i]
    s2=sum{i=1,...,n}((1-x[i])S[i])
    d>=s1-s2
    d>=s2-s1

加上符号说明（符号必须说明，不然计算机不知道哪些是常数，哪些是变量）

where
    n is an integer
    S is a set
    s1,s2,d are variables of number
    x[i] is a variable of binary|i=1,...,n

加上数据（注意整数个数是从集合S上自己数出来的）

data_relation
    n=_$(S)
data
    S={11,47,159,137,85,47,142,35,119,61,88,175,13,96,-11,176,126,15,98,46,163}

四、求解

把如下完整模型贴到记事本上，保存为 partition.leap文件。（注意如果是partition.txt不行啊）。

min d
subject to
    s1=sum{i=1,...,n}x[i]S[i]
    s2=sum{i=1,...,n}((1-x[i])S[i])
    d>=s1-s2
    d>=s2-s1

where
    n is an integer
    S is a set
    s1,s2,d are variables of number
    x[i] is a variable of binary|i=1,...,n
data_relation
    n=_$(S)
data
    S={11,47,159,137,85,47,142,35,119,61,88,175,13,96,-11,176,126,15,98,46,163}

启动leapms，依次打入load, partion, mip命令，即可得到解

如果需要用cplex求解，打入cplex命令即可。如果你的leapms版本不支持直接cplex调用，使用savemps命令把模型保存成mps格式而后用cplex求解（见 https://www.cnblogs.com/leapms/p/11843946.html）。

五、结果分析

上面的结果d=0, s1=s2=914。显然对给出的数据来说，有划分。

整数规划成功求解了一个NP完全问题。