福建省队集训 20180712

交互题

有一天，汪巨打算归还他欠 ysy 的 1010 个鸡排的一部分。于是他到了鸡排店，发现店里一共有 109 种鸡排，编号为 1 到 109，其中有 a 种鸡排是不辣的，他打算把每种不辣的鸡排买 b 个还给 ysy。

汪巨带着几卡车的鸡排回到学校，把鸡排从包装袋里倒出来，数了一天一夜，发现居然没有 ab 个鸡排，少了一些。经过分析，他发现有一种鸡排的包装袋破了，所以有一种鸡排少了一些，这种鸡排只剩下了 x 个（1 ≤ x ≤ b − 1）。

由于鸡排实在太多了，汪巨懒得再数一遍了，他就把鸡排全给了 ysy，并告诉 ysy 少了哪种你自己数数吧。由于 ysy 是鸽子，他就把这个光荣的任务交给了你。

由于你的脑容量没有 ysy 大，并且你也很懒，所以你只能使用不超过 1MB 的内存把鸡排一个一个检查过去，并且输出少的那种的编号。

给你多个数(<=5e6)，采用交互库的方式读入，并且在读入完之前不知道有多少个数，空间只有1M也保存不了。这些数里面有一种数个数比其他数都少，并且其他数的出现次数保证相等且>=2，种数也>=2，求少的这种数。

考虑二进制，先记录头两个出现的数，如果出现次数不同，那么输出出现次数少的，否则知道了其他数的出现次数，设为b。

那么对于二进制的每一位记录编号包含这一位的数的个数。如果要求的数包含这一位显然个数不能整除b，否则能够整除。枚举位数统计即可。

传统题

ysy 是一位优秀的炉石传说玩家。在 2033 年一次更新中，炉石新出了一张 10 费卡，它的效果如下：检验对方场上的随从的生命值，求出最长连续相同的一段的长度，并对英雄造成等于这个长度的伤害。

ysy 觉得这张卡十分垃圾。假设对面场上有 n 个随从，生命值为 [1, m] 的整数，那么他想知道这张卡在所有情况下能打出的伤害之和。

他当然会算了，但是他想让你检验一下。由于答案可能会很大，对输入的质数 p 取模。

一句话题意：你需要求出所有长度为 n 的，每个元素为 [1, m] 的整数的 mn 个序列的最长连续相同子段长度之和。

最长连续相同子段长度就是最长的所有数都相同的一段的长度，例如 {1, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 4, 4, 4, 5} 最长连续相同子段长度为 3。

考虑枚举答案，

[egin{aligned} ans&=sum_{i=1}^n i*G(i)\ &=sum_{i=1}^n G(ansgeq i)\ &=sum_{i=1}^n(m^n-G(ans<i)) end{aligned} ]

设(F(i)=sum_{jleq i}G(i))，考虑计算(sum_{i=0}^{n-1} F(i))，枚举分成了j段并且容斥出现个几个>i的段。第一段有m种颜色可以选，其他段的颜色不能和上一段相同，那么

[egin{aligned} sum_{i=0}^{n-1} F(i)&=sum_{i=0}^{n-1}sum_{j=1}^n m*(m-1)^{j-1}sum_{k=0}^j(-1)^k{kchoose j}{n-ik-1choose j-1}\ &=msum_{i=0}^{n-1}sum_{j=1}^n (m-1)^{j-1}(-1)^ksum_{k=0}^j{kchoose j}{n-ik-1choose j-1}\ &=msum_{i=0}^{n-1}sum_{k=0}^n(-1)^ksum_{j=k}^n(m-1)^{j-1}{kchoose j}{n-ik-1choose j-1}\ &=msum_{i=0}^{n-1}sum_{k=0}^n(-1)^kfrac{1}{n-ik}sum_{j=k}^n(m-1)^{j-1}{kchoose j}{n-ikchoose j}j\ end{aligned} ]

考虑后面的

[sum_{j=k}^n(m-1)^{j-1}{kchoose j}{n-ikchoose j}j ]

这能快速算的话就可以枚举ik了。讨论组合意义，有(n-ik)个球，我们先从中选出 (j) 个，再从选出的 (j) 个中选出 (k) 个。在 (j) 个球中我们选出一个特殊的球，对于剩下的球用 (m-1) 种颜色染色。

考虑讨论这个特殊的球是不是这 (k) 个球中的，那么我们可以把它改成：有 (n-ik) 个球，我们从中选出 (k) 个。接下来分两种情况：

在 (k) 个中选出一个特殊的球，把 (k) 个球中不特殊的用 (m-1) 种颜色染色。在剩下的（(n-ik-k) 个）球中选出一个子集，用 (m-1) 种颜色染色。这种方案数是(k*(m-1)^{k-1}m^{n-ik-k})
把 (k) 个球用 (m-1) 种颜色染色。在剩下的（ (n-ik-k) 个）球中选出一个特殊的球，在其他剩下的（ (n-ik-k-1) 个）球中选出一个子集用 (m-1) 种颜色染色。这种是((m-1)^k(n-ik-k)m^{n-ik-k-1})

最后再乘上(n-ikchoose k)，那么枚举k和ik即可。