「密码学」—矩阵在模 P情况下的逆元

记：(Z_m={0,1,2,...,m-1})

定义：设(A)是定义在集合(Z_m)上的(n)阶方阵，若存在一个定义在(Z_m)上的方阵(B)，使得(A*B=B*A=E(mod p))
则称(A)模(p)可逆，(B)为A的模(p)逆矩阵，记为
(B=A^{-1}(mod p))

定义在集合(Z_m)上的(n)阶方阵(A)模(p)可逆的充要条件是：(p)和(det(A))无公共素因子，即(p)与(det(A))互素。(gcd(p,det(A))==1)

(det(A))：矩阵(A)对应行列式的的值

[A=left[egin{matrix}a_{11} & a_{12} \ a_{13} & a_{14} \ end{matrix} ight] ]

对应的行列式是

[|A|=left|egin{matrix}a_{11} & a_{12} \ a_{13} & a_{14} \ end{matrix} ight| ]

问题:
如何计算(A^{-1}(mod 26)?)
(A^{-1}=frac{1}{|A|*A^*} (A^*为A的伴随矩阵))

• 设(B=kA^*)为(A)在模(26)情况下的逆，其中(k)为待定系数
  (BA=k*|A|*E)
  (BA=E(mod 26)<-->k*|A|=1(mod 26)<-->k=|A|^{-1}(mod 26))

习题：
在(Z_{26})上，矩阵$$M=left[egin{matrix}4 & 5
5 & 19
end{matrix}
ight] $$有模(26)的乘法逆元吗？如果有，找到它。

(|M|=4*19-5*5=51)
伴随矩阵：

[M^*=left[egin{matrix}19 & -5 \ -5 & 4 \ end{matrix} ight] ]

(M^{-1}(mod 26)=(|M|^{-1}(mod 26)*M^*)(mod 26)<-->M^{-1}=25*M^*(mod 26)=)

[left[egin{matrix}19*25\%26 & -5*25\%26+26 \ -5*25\%26+26 & 4*25\%26 \ end{matrix} ight] =left[egin{matrix}7 & 5\ 5 & 22 \ end{matrix} ight]]