已知椭圆 (C:dfrac{x^2}{a^2}+dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)) 的左、右焦点分别为 (F_1,F_2) ,以 (F_1F_2) 为直径的圆过椭圆的上、下顶点,长轴长为 (4) .
(1) 求椭圆 (C) 的方程;
(2) 设椭圆 (C) 的左右顶点分别为 (A,B) ,点 (P(4,t)(t eq0)) ,过点 (P) 的直线 (AP) 与 (BP) 分别交椭圆于点 (C,D) ,证明:直线 (CD) 必过 (x) 轴上的一定点。
解析:
(1) (dfrac{x^2}{4}+dfrac{y^2}{2}=1)
(2)
方法一:设 (C(x_1,y_1)) ,(D(x_2,y_2)) ,所以
则
因为 (AC) 与 (BD) 交于直线 (x=4) 上同一点,则
因为 (C,D) 在椭圆上,则
① 当直线 (CD) 的斜率不存在时,解得 (x_1=x_2=1) ,故直线 (CD) 为:(x=1) .
② 当直线 (CD) 的斜率存在时,设为 (y=kx+m) ,联立椭圆方程
所以
代入得
化简得
当 (m=-k) 时,直线 (CD) 过定点 ((1,0)) ,当 (m=-4k) 时,直线 (CD) 过定点 ((4,0)) (舍) 。
综上,直线 (CD) 过定点 ((1,0)) .
方法二:
求得直线 (PA) 的斜率 (k_{PA}=dfrac{t}{6}) ,则直线 (PA) 的方程为:(y=dfrac{t}{6}(x+2)) ,联立方程有
所以
因为 (x_A=-2) ,所以 (x_C=dfrac{36-2t^2}{18+t^2}) ,代入直线 (PA) 方程解得 (CBig(dfrac{36-2t^2}{18+t^2},dfrac{12t}{18+t^2}Big)) ,同理得 (DBig(dfrac{2t^2-4}{2+t^2},dfrac{-4t}{2+t^2}Big)) .
若直线 (CD) 的斜率不存在,则 (x_C=x_D) ,解得 (t^2=6) ,此时 (x_C=x_D=1) ,故直线 (CD) 的方程为 (x=1) .
若直线 (CD) 的斜率存在,求得直线 (CD) 的斜率
故直线 (CD) 的方程为
令 (y=0) ,解得 (x=1) .
综上,直线 (CD) 过定点 ((1,0)) .
另一种处理:
设 (CD) 与 (x) 轴交于点 (N(n,0)) ,由 (k_{CN}=k_{DN}) 得
解得 (n=1) ;综上,直线 (CD) 过定点 ((1,0)) .
方法三:
设直线 (CD) 与 (x) 轴相交于点 (N(n,0)) ,设直线 (CD) 的方程为:(x=my+n) ,联立方程有
所以
又 (AC) 方程为:(y=dfrac{t}{6}(x+2)) ,与 (CD) 联立解得 (y_C=dfrac{(n+2)t}{6-tm}) ,同理得 (y_D=dfrac{(n-2)t}{2-tm}) . 由
解得 (n=1) ,所以直线 (CD) 过定点 ((1,0)) .