已知双曲线 (dfrac{x^2}{a^2}-dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)) 的左右焦点分别为 (F_1,F_2) ，过 (F_1) 且垂直于 (x) 轴的直线与该双曲线的左支交于 (A,B) 两点，(AF_2,BF_2) 分别交 (y) 轴于 (P,Q) 两点，若 ( riangle PQF_2) 的周长为 (16) ，则 (dfrac{b^2}{a+1}) 的最大值为 (underline{qquadqquad}) .
解析：由 ( riangle PQF_2) 的周长为 (16) 得
[PO+PF_2=8,AF_1+AF_2=16
]
而双曲线的通径 (AB=dfrac{2b^2}{a}) ，所以 (AF_1=dfrac{b^2}{a}) ，又 (AF_2-AF_1=2a) ，所以
[AF_1=8-a=dfrac{b^2}{a}Longrightarrow b^2=8a-a^2
]
所以
[dfrac{b^2}{a+1}=dfrac{8a-a^2}{a+1}=dfrac{-t^2+10t-9}{t}=-Big(t+dfrac{9}{t}Big)+10leqslant4
]
其中 (t=a+1>0) ，当且仅当 (t=dfrac{9}{t}) ，即 (t=3) ，(a=2 , b=2sqrt{3}) 时，等号成立.