证明地球上两点的最短距离为通过两点大圆的劣弧。
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本题的结论是显而易见的，证明方法如下：
将地球的球面想象成是由无数个点组成的，在一个很小的局部部分可以认为是平面，下图为某一个局部，其中每一个点都可看成是球面的最小组成单位：
因为这个局部无限小，所以可以认为是平面，所以A、B两点间的距离是要小于A、C两点间的距离的。
假设球面上有1、2两点，令X是端点为1、2的线段，平面Y是垂直于X且过点1的平面，平面Z是垂直于X且过点2的平面。平面YZ之间有无数个平行与YZ的平面，且两个相邻平面之间的距离为无穷小。
上图为球体和1 2点，点O为球心。
上图为点1、2，面Y、Z，黄色线条是通过点1 2大圆的劣弧
假设地球上某两点的最短距离不是通过两点大圆的劣弧。不妨令红色路径是最短的一条路径，长度小于黄色线条（过点1 2的劣弧）
点3 4之间的红色线条是之前红色路径的一部分，面P过点3且平行于Y，面Q过点4且平行于Y，且面P、Q不重合。5在球面上且点3 5 O构成的面垂直于Y。紫色线条是通过点3 5大圆的劣弧。面P交黄色线条于点6，面Q交黄色线条于点7，蓝色线条是通过点3 5大圆的劣弧，易知蓝色线条=紫色线条。点3 5，点6 7之间不存在其他任何点，即点3 5，点 6 7之间的距离是无穷小。当点4 5重合时，显然红色线条和紫色线条长度相同。当点4 5不重合时，如果红色线条的长度不是无穷小，那么红色线条长度显然大于紫色，如果红色线条的长度是无穷小，那么这一个局部区域就可看成平面，点3 4 5可看作直角三角形，35、45是直角边，34是斜边，所以红色线条（34）的长度>紫色线条（35）=蓝色线条（67)。综上，红色线条（34）>=蓝色线条（67)
上图中黄色线条的小红点代表了过1 2大圆劣弧上所有的点，相邻点的距离为无穷小。对于任意两个相邻的小红点，都可以采取之前的方式证明这两个小红点之间的蓝色线条<=过这两点的平行与Y的平面间的红色线条，易知所有相邻小红点的蓝色线条加起来就是黄色线条，而所有过相邻两个小红点的平行与Y的平面间的红色线条之和<=之前的红色路径（最短路径），所以黄色线条（过点1 2大圆的劣弧）的长度<=红色路径，这与之前的假设矛盾，所以假设不成立，所以地球上某两点的最短距离就是通过两点大圆的劣弧。