题目：
1994个姑娘围着一张圆桌，玩一副n张牌的游戏。开始时，一个姑娘手中握有所有牌.如果至少一个姑娘至少握有两张牌时，那么这些姑娘中的一个必须分给她左、右两个姑娘各一张牌。当且仅当每个姑娘至多握有一张牌时，这游戏就结束了。
问题：
(1)如果n≥1994，求证:这游戏不能结束;
(2)如果n<1994，求证:这游戏必定结束;
证明：
(1)当n>1994时，显然不存在每个姑娘至多握有一张牌的情况，所以游戏不能结束。
当n=1994时，最开始有1994张牌的姑娘最后只剩1张，不妨令其的站位为(1993) 1991 ··· 5 3 1 0 2 4 6 ···1992，0是最开始有牌的姑娘，(1993)与1991、1992相邻（因为是圆桌，站位是环状的）。
假设最后游戏可以结束。由题意可知，0分牌的时候，每次都给1、2一张，由于0最后剩了1张，所以2、1向两侧分牌的次数肯定不同。令Xi为i向两侧分牌的次数。那么有：
x0+x3-2x1=1 ; x0+x4-2x2=1
联立，得：x3-x4=2(x1-x2)
x1+x5-2x3=1 ; x2+x6-2x4=1
联立，得：x5-x6=3(x1-x2)
·······
x2i-5+x2i-1-2x2i-3=1 ; x2i-4+x2i-2-x2i-2=1
联立，得x2i-1-x2i=i(x1-x2)
······
x1985+x1989-2x1987=1 ; x1986+x1990-2x1988=1
联立，得：x1989-x1990=995(x1-x2)；
x1987+x1991-2x1989=1 ; x1988+x1992-2x1990=1
联立，得：x1991-x1992=996(x1-x2)；
x1989+x1993-2x1991=1；A
x1993+x1990-2x1992=1；B
联立AB得：
x1989-x1990=2(x1991-x1992)=1992(x1-x2);
而之前得到的 x1989-x1990=995(x1-x2)， 只有当x1=x2时，才能满足x1989-x1990=995(x1-x2)=1992(x1-x2)，而2、1向两侧分牌的次数肯定不同，即x2≠x1，所以存在矛盾，所以假设不成立，所以当n=1994时，游戏不能结束。
（2）当n=2、3时，游戏显然可以结束。
先证明对于n<1994的所有奇数都可以结束：
令n是奇数，假设n-2可以结束并且最后的牌分布情况为 (0)11··11“1”11··11(0)。 "1"是最开始有n-2张牌的姑娘。那么初始有n张牌时一定可变为(0)11··11“3”11··11(0)，然后将3分开，得到(0)11··12“1”21··11(0)。
下面利用数学归纳法证明(0)11··12“1”21··11(0)可转为(0)21··11“1”11··12(0)，
将(0)11··121··1“1”1··121··11(0) 变为(0)11··202··1“1”1··202··11(0)，只要0211··1“1”1··1120可变为1111··1“1”1··1111，那么(0)11··121··1“1”1··121··11(0)就可变为(0)11··211··1“1”1··112··11(0)。下面证明所有的0211··1“1”1··1120都可变为1111··1“1”1··1111：
0211··1“1”1··1120可变为1021··1“1”1··1201，如果021··1“1”1··120可变为111··1“1”1··111，那么0211··1“1”1··1120即可变为1111··1“1”1··1111。
由于最底层的02“1”20可变为11“1”11，所以向上反推，可得所有的0211··1“1”1··1120都可变为1111··1“1”1··1111。
所以(0)11··121··1“1”1··121··11(0)在变为(0)11··202··1“1”1··202··11(0)之后，02··1“1”1··20再变为1111··1“1”1··1111，那么(0)11··121··1“1”1··121··11(0)就变为了(0)11··211··1“1”1··112··11(0)，同理，(0)11··12“1”21··11(0)可变为(0)11··21“1”12··11(0)，····(0)12··11“1”11··21(0)可变为(0)21··11“1”11··12(0)，而(0)21··11“1”11··12(0)又可变为(1)02··11“1”11··20(1)，又因为所有的0211··1“1”1··1120都可变为1111··1“1”1··1111，所以(1)02··11“1”11··20(1)可变为(1)11··11“1”11··11(1)，此时满足结束的条件，且牌最后的分布情况是 (0)11··11“1”11··11(0)。所以对于n<1994的所有奇数，当n-2可以结束并且最后的牌分布情况为 (0)11··11“1”11··11(0)时，n是可以结束的。而由于当n=3时的分布情况为01“1”10，所以n=5可以结束，n=7可以结束····n=1993可以结束，所以对于n<1994的所有奇数都可以结束。
再证明对于n<1994的所有偶数都可以结束：
n为偶数时的证明方法与奇数的证明方法完全相同，只不过中间的“1”变成了“0”：
令n是偶数，假设n-2可以结束并且最后的牌分布情况为 (0)11··11“0”11··11(0)。 "0"是最开始有n-2张牌的姑娘。那么初始有n张牌时一定可变为(0)11··11“2”11··11(0)，然后将2分开，得到(0)11··12“0”21··11(0)。
下面利用数学归纳法证明(0)11··12“0”21··11(0)可转为(0)21··11“0”11··12(0)，
将(0)11··121··1“0”1··121··11(0) 变为(0)11··202··1“0”1··202··11(0)，只要0211··1“0”1··1120可变为1111··1“0”1··1111，那么(0)11··121··1“0”1··121··11(0)就可变为(0)11··211··1“0”1··112··11(0)。下面证明所有的0211··1“0”1··1120都可变为1111··1“0”1··1111：
0211··1“0”1··1120可变为1021··1“0”1··1201，如果021··1“0”1··120可变为111··1“0”1··111，那么0211··1“0”1··1120即可变为1111··1“0”1··1111。
由于最底层的02“0”20可变为11“0”11，所以向上反推，可得所有的0211··1“0”1··1120都可变为1111··1“0”1··1111。
所以(0)11··121··1“0”1··121··11(0)在变为(0)11··202··1“0”1··202··11(0)之后，02··1“0”1··20再变为1111··1“0”1··1111，那么(0)11··121··1“0”1··121··11(0)久变为了(0)11··211··1“0”1··112··11(0)，同理，(0)11··12“0”21··11(0)可变为(0)11··21“0”12··11(0)，····(0)12··11“0”11··21(0)可变为(0)21··11“0”11··12(0)，而(0)21··11“0”11··12(0)又可变为(1)02··11“0”11··20(1)，又因为所有的0211··1“0”1··1120都可变为1111··1“0”1··1111，所以(1)02··11“0”11··20(1)可变为(1)11··11“0”11··11(1)，此时满足结束的条件，且牌最后的分布情况是 (0)11··11“0”11··11(0)。所以对于n<1994的所有偶数，当n-2可以结束并且最后的牌分布情况为 (0)11··11“0”11··11(0)时，n是可以结束的。而由于当n=2时的分布情况为01“0”10，所以n=4可以结束，n=6可以结束····n=1992可以结束，所以对于n<1994的所有偶数都可以结束。
所以如果n<1994，这游戏必定结束。