数字三角形(POJ1163)
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径,使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可,不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100,数字为 0 - 99
输入格式:
5 //表示三角形的行数 接下来输入三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
对于空间优化后的具体递推过程如下:
接下里的步骤就按上图的过程一步一步推导就可以了。进一步考虑,我们甚至可以连maxSum数组都可以不要,直接用D的第n行直接替代maxSum即可。但是这里需要强调的是:虽然节省空间,但是时间复杂度还是不变的。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define maxn 10010 int main() { int a[maxn][maxn],dp[maxn],n; while(~scanf("%d",&n)) { for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=i;j++) scanf("%d",&a[i][j]); } dp[n] = 0; for(int i=n;i>=1;i--) { for(int j=1;j<=i;j++) { dp[j] = max(dp[j],dp[j+1]) + a[i][j];//第一次的时候,dp[1],dp[2]...dp[n]都为0 } } printf("%d ",dp[1]); } return 0; }
接下来,我们就进行一下总结:
递归到动规的一般转化方法
递归函数有n个参数,就定义一个n维的数组,数组的下标是递归函数参数的取值范围,数组元素的值是递归函数的返回值,这样就可以从边界值开始, 逐步填充数组,相当于计算递归函数值的逆过程。
动规解题的一般思路
1. 将原问题分解为子问题
- 把原问题分解为若干个子问题,子问题和原问题形式相同或类似,只不过规模变小了。子问题都解决,原问题即解决(数字三角形例)。
- 子问题的解一旦求出就会被保存,所以每个子问题只需求 解一次。
2.确定状态
- 在用动态规划解题时,我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值,称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题, 所谓某个“状态”下的“值”,就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
- 所有“状态”的集合,构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小,与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里,一共有N×(N+1)/2个数字,所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次,且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
3.确定一些初始状态(边界状态)的值
以“数字三角形”为例,初始状态就是底边数字,值就是底边数字值。
4. 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”,以及在该“状态”下的“值”后,就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”,求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示,此递推公式也可被称作“状态转移方程”。
数字三角形的状态转移方程:
能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结 构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定,则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关,和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态,没有关系。