能量谱密度功率谱密度

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作者：張無忌链接：https://www.zhihu.com/question/29520851/answer/241700599 来源：知乎

作者：知乎用户链接：https://www.zhihu.com/question/29520851/answer/139330300 来源：知乎

一.能量W，功率P的定义

　　对于任意的时间信号 x(t) ，这个信号可以是任意随时间变化的物理量，在对信号进行能量分析时，不加区分地将其视为施加在阻值是单位电阻，即 R = 1Ω 的电阻上的电流。基于此，这个单位电阻的能量属性，就视为这个信号的能量属性。

　　所以，信号的总能量 W 就是：

$W=lim_{T ightarrowinfty}int_{-T}^{T}I^2R{ m d}t=lim_{T ightarrowinfty}int_{-T}^{T}x^2(t){ m d}t\$

　　同时，能量也可以在频域表示：

$W=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}|X(omega)|^2{ m d}omega,X(omega)=int_{-infty}^{+infty}x(t){ m e}^{-{ m j}{omega}t}{ m d}t\$

　　相应地，信号的平均功率 P 就是：

$P=lim_{T ightarrowinfty}frac{1}{2T}int_{-T}^{T}x^2(t){ m d}t\$

　　第一个极限存在，即称为 能量信号，若第二个极限存在，则称为 功率信号。

但是，一个信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号，又是功率信号。

在频谱分析中幅度和功率是由紧密联系的两个不同的物理量：

能量：能表述为幅值的平方和，也能表述为功率在时间上的积分；

功率谱密度：是对随机变量均方值的量度，是单位频率的平均功率量纲；也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的平均功率，而不是能量。

能量谱密度：是单位频率的幅值平方和量纲，能量谱密度曲线下面的面积才是这个信号的总能量。

于是，功率谱、能量谱、幅值谱之间的紧密关系主要表述为：
能量谱是功率谱密度函数在相位上的卷积，也是幅值谱密度函数的平方在频率上的积分；
功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换，能量谱是信号本身傅立叶变换幅度的平方

一般地，若信号的总能量是有限的，用能量谱密度函数考察；若信号的总能量是无限的，但单位时间内的能量是有限的：比如周期信号，用功率谱密度函数考察

二、能量信号-能量谱

　　如果信号是 能量信号，通过傅里叶变换，就很容易分离不同频域分量所对应的能量，频率 ω 对应的能量为: dW = |X(ω)|²d(ω/2π)，对 ω 积分就能得到信号的总能量，由此， |X(ω)|² 就定义为 能量谱密度，也常简称为 能量谱，意为能量在某一频率上的分布集度或，量纲是 [U]²·sec/Hz 或 [U]²·sec/(rad/sec)，[U] 是 x(t) 的量纲。

三、周期功率信号-功率谱密度G(ω)

　　这个是十分容易的，一个有限长时间的信号进行周期延拓得到。

　　周期信号在时间上无始无终，能量必然是无限的，但功率可能是有限的。对信号进行傅里叶展开，可以写成：

$x(t)=sum_{n=1}^{infty}A_nsin(nvarOmega_0t+varphi_n), varOmega_0=frac{2pi}{T_0}\$

　　或表示为复指数形式，频谱函数Cn是离散的

$x(t)=sum_{n=-infty}^{+infty}c_n{ m e}^{{ m j}nvarOmega_0t}\$

　　周期信号的平均功率只需要取一个周期进行能量平均即可得到，也即：

$P=frac{1}{T_0}int_{0}^{T_0}x^2(t){ m d}t=frac{1}{T_0}int_{0}^{T_0}[sum_{n=1}^{infty}A_nsin(nvarOmega_0t+varphi_n)]^2{ m d}t\$

　　或：

$P=frac{1}{T_0}int_{0}^{T_0}(sum_{n=-infty}^{+infty}c_n{ m e}^{{ m j}nvarOmega_0t})^2{ m d}t\$

　　利用二项式展开以及三角函数系的正交性，不难化简上式：

$P=sum_{n=1}^{infty}(A_n^2/2)=sum_{n=1}^{infty}P_n\$

　　或

$P=sum_{n=-infty}^{+infty}(|c_n|^2/2)=sum_{n=-infty}^{+infty}P^*_n\$

An 是周期信号中频率为 nΩ₀ 的谐波分量的幅值，Pn = An²/2 是频率为 nΩ₀ 的谐波分量的功率。

所以结论就是：周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和。

容易理解，周期信号的功率是离散地分布在频率为基频 Ω₀ 整数倍的谐波分量上的。

　　如果以频率为横坐标，功率 Pn 为纵坐标，就可以得到功率随频率的分布。容易观察到，周期信号的功率谱频率分布是离散的，等间隔的，间隔长度就是基频 Ω₀ = 2π/T₀ ，如果将 Pn 在区间 [nΩ₀, (n+1)Ω₀] 平均化为 Pn/Ω₀ ，就可以得到一条频率连续的分布曲线 G(ω) ，其意义就是频率 ω 上的功率密度，也就是所谓的 功率谱密度，量纲是 [U]²/Hz。

功率谱密度曲线的对频率积分就等于平均功率 P，即：

$P=int_{0}^{+infty}G(omega){ m d}omega\$

　　实际上，如果引入冲击函数 δ(·)，功率对频率微分也可得到周期信号的功率谱密度，功率谱密度在基频整数倍为脉冲形式，即 G(ω) = ΣPnδ(ω-nΩ₀)，同样满足功率谱密度的积分就等于平均功率 P。

　　以三角函数对功率展开, 幅值 An 为实数，n 仅取正值，功率谱密度 G(ω) 为单边功率谱，如果以复指函数形式对功率展开，系数 Cn 为复数，而 n 取全体整数，功率谱密度 S(ω) 为双边功率谱，二者关系为：An = 2|Cn| = 2|C₋n|，G(ω) = 2S(ω)。

四、非周期功率信号

如平稳随机过程。非周期信号可以用周期信号的思路来推广，相当于周期信号中的周期 T₀ → ∞ 。

　　周期趋近于无穷意味着基频（离散谐波的频率分布间隔） Ω₀ → 0 ，离散的谐波功率谱线趋于连续。同时，傅里叶系数 An 也趋于 0，也就是说，在谐波功率谱线的图形中，所有频率的谱值 Pn 都是无穷小，注意到，功率谱的频率密度 G(ω) = Pn/Ω₀ 却为有限值，可以用于描述功率的频率分布。

　　通过对信号的截断也容易理解非周期信号的功率谱密度。功率信号 x(t) 无法直接进行傅里叶变换，但通过对信号截断，则截断后的 [-T, T] 上有限时长的信号 x₀(t)则为能量信号，可进行傅里叶变换，得到截断信号 x₀(t) 能量的频率表示 |X₀(ω)|²。随着截断时间 2T 趋于无穷，截断信号 x₀(t) 逼近功率信号 x(t)，能量谱密度 |X₀(ω)|² 趋于无穷，而其时间平均则为有限值，也即功率谱密度 G(ω) = lim(1/2T)|X₀(ω)|² 。