题目描述
A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).
How many possible unique paths are there?
Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?
Note: m and n will be at most 100.
根据题意分析，我们得出一个重要的结论：
机器人走到终点的所有路径 = 机器人走到1位置的所有路径 +机器人走到２位置的所有路径。
同理如果要求走到1位置的所有路径，只要求它上面和左面的所有路径之和。
再来看当被划红线的小方块作为终点时，都只有一条唯一的路径。
很明显我们可以用动态规划来解决这个问题。经过上面的分析后，可以列出状态转义方程：
dp[0][j] = 1 dp[i][0] = 1 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
代码如下：
class Solution { public: int uniquePaths(int m, int n) { int dp[m][n]; for (int i = 0; i < m; i++) { dp[i][0] = 1; } for (int j = 0; j < n; j++) { dp[0][j] = 1; } for (int i = 1; i < m; i++) { for (int j = 1; j < n; j++) { dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]; } } return dp[m-1][n-1]; } };
使用动态规划时间复杂度只需要O(m*n)。在求解最优化问题时，无非最常用的就是贪心和动态规划两种。在使用动态规划中，先对问题仔细分析，列出状态转移方程以及边界条件，接下来代码就是水到渠成的事情了。