平衡树算法

一、平衡树用来干什么

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

1. 插入 xxx 数
2. 删除 xxx 数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询 xxx 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 +1+1+1 )
4. 查询排名为 xxx 的数
5. 求 xxx 的前驱(前驱定义为小于 xxx，且最大的数)
6. 求 xxx 的后继(后继定义为大于 xxx，且最小的数)

二、平衡树与二叉排序树区别

平衡树是二叉搜索树和堆合并构成的数据结构，它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡树的平均查找长度要小于等于二叉排序树的平均查找长度

平衡树是二叉排序树通过旋转来达到最优二叉排序树

平衡树本身就是二叉排序树

不懂二叉排序树的可以看一下：二叉排序树的构造 && 二叉树的先序、中序、后序遍历

三、二叉平衡树复杂度

前提：包含n个顶点的二叉平衡树（AVL树）

1、查找一个节点时间复杂度为O(lgn)

2、插入的时间复杂度O(lgn)

3、删除一个节点时间复杂度为O(lgn)

代码中会发现每一次操作之后都会进行旋转操作，这样导致平衡树的时间复杂度常数很大

四、平衡树的构造

参考链接：https://blog.csdn.net/a_comme_amour/article/details/79382104

1、变量声明

f[i]表示i的父结点，ch[i][0]表示i的左儿子，ch[i][1]表示i的右儿子，key[i]表示i的关键字（即结点i代表的那个数字），cnt[i]表示i结点的关键字出现的次数（相当于权值），sizes[i]表示包括i的这个子树的大小；sz为整棵树的大小，rt为整棵树的根。

注意：

sz代表的是不同节点种类数，比如你要插入5 5 4 3 4这些数，那么sz的大小是3

sizes代表的就是节点有几个，就不是种类个数了

几个小函数：

void clears(int x) //删除x点信息
{
    f[x]=cnt[x]=ch[x][0]=ch[x][1]=sizes[x]=key[x]=0;
}
bool get(int x) //判断x是父节点的左孩子还是右孩子
{
    return ch[f[x]][1]==x;  //返回1就是右孩子，返回0就是左孩子
}
void pushup(int x)  //重新计算一下x这棵子树的节点数量
{
    if(x)
    {
        sizes[x]=cnt[x];
        if(ch[x][0]) sizes[x]+=sizes[ch[x][0]];
        if(ch[x][1]) sizes[x]+=sizes[ch[x][1]];
    }
}

2、旋转操作

 怎么旋转看下面

 让4旋转到他的父亲位置2（我们代码中的旋转就是让一个节点移动到他的父亲节点位置）

首先我们要知道平衡树就是二叉排序树，那么二叉排序树儿子节点的特点就是左节点的值小于父节点的值，右节点的值大于父节点的值

那么4节点移动到了2节点（4节点的父亲节点）的位置，4节点会把它的右儿子（也就是9号节点）给2号节点充当左儿子，然后2号节点在作为4号节点的右儿子节点出现

 旋转操作代码：

void rotates(int x)  //将x移动到他父亲的位置，并且保证树依旧平衡
{
    int fx=f[x],ffx=f[fx],which=get(x);
    //x点父亲，要接受x的儿子。而且x与x父亲身份交换
    ch[fx][which]=ch[x][which^1];
    f[ch[fx][which]]=fx;

    ch[x][which^1]=fx;
    f[fx]=x;

    f[x]=ffx;
    if(ffx) ch[ffx][ch[ffx][1]==fx]=x;

    pushup(fx);
    pushup(x);
}

3、splay操作

这个就是把树上的一个节点旋转的树根位置，分为两种操作：

<一>、

一个点p和他的父亲（fa）同为一边的儿子（如图同为左儿子） 此时应先rotate(p.fa), 再rotate(p)

<二>、

一个点p和他的父亲不是同一边的儿子 此时两次rotate(p)即可

void splay(int x)  //将x移动到数根节点的位置，并且保证树依旧平衡
{
    for(int fx; fx=f[x]; rotates(x))
    {
        if(f[fx])
        {
            rotates((get(x)==get(fx))?fx:x);
            //如果祖父三代连城一条线，就要从祖父哪里rotate
            //至于为什么要这样做才能最快……可以去看看Dr.Tarjan的论文
        }
    }
    rt=x;
}

注意：void splay(int x)  这个x是这个节点在树上的位置

假设上面节点1、fa、3的cnt值都为1 

那么这个fa这个节点在树上的位置就是2，3这个节点在树上的位置就是3

4、void inserts(int x)，插入一个节点（这个x是你要插入值的大小）

代码实现

void inserts(int x)
{
    if(rt==0)
    {
        sz++;
        key[sz]=x;
        rt=sz;
        cnt[sz]=sizes[sz]=1;
        f[sz]=ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;
        return;
    }
    int now=rt,fx=0;
    while(1)
    {
        if(x==key[now])
        {
            cnt[now]++;
            pushup(now);
            pushup(fx);
            splay(now);  //splay的过程会rotates now点的所有祖先节点，这个时候它们所有子树权值也更新了
            return;
        }
        fx=now;
        now=ch[now][key[now]<x];
        if(now==0)
        {
            sz++;
            sizes[sz]=cnt[sz]=1;
            ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;
            ch[fx][x>key[fx]]=sz;  //二叉查找树特性”左大右小“
            f[sz]=fx;
            key[sz]=x;
            pushup(fx);
            splay(sz);
            return ;
        }
    }
}

注意：插入完之后要把这个刚插入到树上的点给通过splay函数旋转到树根，至于为什么要这样做。大家可以这样想，假设插入之前的树是一颗最优二叉排序树，那么插入一个点之后可能就不最优了，所以我们要旋转这棵树，以保证这棵树还是最优的

5、int rnk(int x)  //查询x的排名

这个函数就是插入x这个值，他在平衡树上的位置

代码实现

/*
有人问：
很想知道为什么rnk操作也要splay操作呢？如果del要用的话直接splay（x）是不是就可以了

原博客答：
呃不不不这个貌似不是随便splay以下就可以的 首先find之后的splay就是将找到的这个点转到根，
当然你不加这个应该是也可以，只不过这道题加上的话对于这一堆操作来说比较方便，不过一般来说转一转splay的
平衡性会好一点（当然也不要转得太多了就tle了...） 但是del之前直接splay(x)要视情况而定，关键在于分清楚
“点的编号”和“点的权值”这两个概念。如果你已经知道了该转的点的编号，当然可以直接splay(x)，但是如果你只
知道应该splay的点的权值，你需要在树里find到这个权值的点的编号，然后再splay 其实最后splay写起来都是非
常灵活的，而且有可能一个点带若干个权之类的。对于初学者的建议就是先把一些最简单的情况搞清楚，比如说一
个编号一个权的这种，然后慢慢地多做题就能运用得非常熟练了。最好的方法就是多画画树自己转一转，对之后
复杂题目的调试也非常有益

我说：
我在洛谷上得模板题上交了一下rnk里面不带splay(now)的，一共12个样例，就对了两个样例。错了一个样例，其他全TLE

我解释：
为什么作者解释可以删去，但是删过之后还错了。因为它的代码中函数之前是相互联系的
就比如它调用rnk(x)函数之后就已经认为x为平衡树树根，然后直接对它进行下一步操作(这个假设在del函数里面)

如果你光删了rnk(x)里面的splay()，你肯定还要改其他地方代码。。。。。。
*/
int rnk(int x)  //查询x的排名
{
    int now=rt,ans=0;
    while(1)
    {
        if(x<key[now]) now=ch[now][0];
        else
        {
            ans+=sizes[ch[now][0]];
            if(x==key[now])
            {
                splay(now); //这个splay是为了后面函数的调用提供前提条件
//就比如pre函数的前提条件就是x（x是我们要求谁的前驱，那个谁就是x）已经在平衡树树根
                return ans+1;
            }
            ans+=cnt[now];  //cnt代表now这个位置值（key[now]）出现了几次
            now=ch[now][1];
        }
    }
}

6、int kth(int x)

这个是查找树上面第x大的数是多少

int kth(int x)
{
    int now=rt;
    while(1)
    {
        if(ch[now][0] && x<=sizes[ch[now][0]])
        {
            //满足这个条件就说明它在左子树上
            now=ch[now][0];
        }
        else
        {
            int temp=sizes[ch[now][0]]+cnt[now];
            if(x<=temp) //这个temp是now左子树权值和now节点权值之和
                return key[now]; //进到这个判断里面说明他不在左子树又不在右子树，那就是now节点了
            x-=temp;
            now=ch[now][1];
        }
    }
}

7、求根节点的前驱节点和后继结点在树上的位置

int pre()//由于进行splay后，x已经到了根节点的位置
{
    //求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点
//为什么呢，因为这是平衡树（带有二叉排序树特点），根据二叉排序树中序遍历结果我么可以知道，一个数的前序就在
//x的左子树的最右边的一个结点
    int now=ch[rt][0];
    while(ch[now][1]) now=ch[now][1];
    return now;
}
int next()
{
    //求后继是求x的右子树的最左边一个结点
//为什么呢，因为这是平衡树（带有二叉排序树特点），根据二叉排序树中序遍历结果我么可以知道，一个数的前序就在
//x的右子树的最左边一个结点
    int now=ch[rt][1];
    while(ch[now][0])  now=ch[now][0];
    return now;
}

8、删除一个值

/*
删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。
step 1：随便find一下x。目的是：将x旋转到根。
step 2：那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一个x的话，直接-1返回。
step 3：如果root并没有孩子，就说名树上只有一个x而已，直接clear返回。
step 4：如果root只有左儿子或者右儿子，那么直接clear root，然后把唯一的儿子当作根就可以了（f赋0，root赋为唯一的儿子）
剩下的就是它有两个儿子的情况。
step 5：我们找到新根，也就是x的前驱（x左子树最大的一个点），将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的
右子树上（注意这个操作需要改变父子关系）。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。
*/
void del(int x)
{
    rnk(x);
    if(cnt[rt]>1)//如果这个位置权值大于1，那就不用删除这个点
    {
        cnt[rt]--;
        pushup(rt);
        return;
    }
    if(!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) //这个就代表平衡树只有一个节点
    {
        clears(rt);
        rt=0;
        return;
    }
    if(!ch[rt][0]) //只有左儿子，树根只有左儿子那就把树根直接删了就行
    { //然后左儿子这棵子树变成新的平衡树
        int frt=rt;
        rt=ch[rt][1];
        f[rt]=0;
        clears(frt);
        return;
    }
    else if(!ch[rt][1]) //只有右儿子，和上面差不多
    {
        int frt=rt;
        rt=ch[rt][0];
        f[rt]=0;
        clears(frt);
        return;
    }
    int frt=rt;
    int leftbig=pre();
    splay(leftbig); //让前驱做新根
    ch[rt][1]=ch[frt][1];  //这个frt指向的还是之前的根节点
    /*
    看着一点的时候就会发现，数在数组里面的位置一直没有改变，平衡树旋转改变的是根节点儿子数组ch[x][]指向的值
    */
    f[ch[frt][1]]=rt;
    clears(frt);
    pushup(rt);
}

五、例题

P3369 【模板】普通平衡树

题目描述

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

1. 插入 xxx 数
2. 删除 xxx 数(若有多个相同的数，因只删除一个)
3. 查询 xxx 数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数 +1+1+1 )
4. 查询排名为 xxx 的数
5. 求 xxx 的前驱(前驱定义为小于 xxx，且最大的数)
6. 求 xxx 的后继(后继定义为大于 xxx，且最小的数)

输入格式

第一行为 nnn，表示操作的个数,下面 nnn 行每行有两个数 opt ext{opt}opt 和 xxx，opt ext{opt}opt 表示操作的序号( 1≤opt≤6 1 leq ext{opt} leq 6 1≤opt≤6 )

输出格式

对于操作 3,4,5,63,4,5,63,4,5,6 每行输出一个数，表示对应答案

输入输出样例

输入 #1 复制

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

输出 #1 复制

106465
84185
492737

说明/提示

【数据范围】
对于 100%100\%100% 的数据，1≤n≤1051le n le 10^51≤n≤105，∣x∣≤107|x| le 10^7∣x∣≤107

 

代码：

/*
注意：
1、看平衡树之前你要注意，对于1 3 5 3 2这一组数据。sz的值是4，因为sz保存的是节点种类
   为什么要这样，因为sz涉及到要为几个点开空间

2、sizes[x]保存的是以x为树根的子树上节点数量，比如x这颗子树所有节点为1，2，1.那么它的sizes[x]=3
   而且实际上不会有两个1放在树上。而是给1的权值数组cnt[1]加1

3、对于1 3 5 3 2这一组数据。sz的值是4。那么1对应位置就是1，3对应位置就是2，5对应位置就是3，2对应位置就是4
   之后他们所对应的位置都不会改变
   在平衡树旋转的过程中只是每一个点的儿子节点ch[x][0]和ch[x][1]里面保存的值在改变
*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
int f[maxn],cnt[maxn],ch[maxn][2],sizes[maxn],key[maxn],sz,rt;
/*
f[i]:i节点的父节点,cnt[i]每个点出现的次数,ch[i][0/1]:0表示左孩子，
1表示右孩子, size[i]表示以i为根节点的子树的节点个数
key[i]表示点i代表的数的值；sz为整棵树的节点种类数，rt表示根节点
*/
void clears(int x) //删除x点信息
{
    f[x]=cnt[x]=ch[x][0]=ch[x][1]=sizes[x]=key[x]=0;
}
bool get(int x) //判断x是父节点的左孩子还是右孩子
{
    return ch[f[x]][1]==x;  //返回1就是右孩子，返回0就是左孩子
}
void pushup(int x)  //重新计算一下x这棵子树的节点数量
{
    if(x)
    {
        sizes[x]=cnt[x];
        if(ch[x][0]) sizes[x]+=sizes[ch[x][0]];
        if(ch[x][1]) sizes[x]+=sizes[ch[x][1]];
    }
}
void rotates(int x)  //将x移动到他父亲的位置，并且保证树依旧平衡
{
    int fx=f[x],ffx=f[fx],which=get(x);
    //x点父亲，要接受x的儿子。而且x与x父亲身份交换
    ch[fx][which]=ch[x][which^1];
    f[ch[fx][which]]=fx;

    ch[x][which^1]=fx;
    f[fx]=x;

    f[x]=ffx;
    if(ffx) ch[ffx][ch[ffx][1]==fx]=x;

    pushup(fx);
    pushup(x);
}
void splay(int x)  //将x移动到数根节点的位置，并且保证树依旧平衡
{
    for(int fx; fx=f[x]; rotates(x))
    {
        if(f[fx])
        {
            rotates((get(x)==get(fx))?fx:x);
            //如果祖父三代连城一条线，就要从祖父哪里rotate
            //至于为什么要这样做才能最快……可以去看看Dr.Tarjan的论文
        }
    }
    rt=x;
}
/*
将x这个值插入到平衡树上面
如果这个值在树上存在过，那就sz不再加1，更新一下权值即可
如果这个值在树上不存在，那就sz加1，再更新一下权值

sz是书上节点种类数
sizes[x]是x这棵子树上有多少节点
*/
void inserts(int x)
{
    if(rt==0)
    {
        sz++;
        key[sz]=x;
        rt=sz;
        cnt[sz]=sizes[sz]=1;
        f[sz]=ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;
        return;
    }
    int now=rt,fx=0;
    while(1)
    {
        if(x==key[now])
        {
            cnt[now]++;
            pushup(now);
            pushup(fx);
            splay(now);  //splay的过程会rotates now点的所有祖先节点，这个时候它们所有子树权值也更新了
            return;
        }
        fx=now;
        now=ch[now][key[now]<x];
        if(now==0)
        {
            sz++;
            sizes[sz]=cnt[sz]=1;
            ch[sz][0]=ch[sz][1]=0;
            ch[fx][x>key[fx]]=sz;  //二叉查找树特性”左大右小“
            f[sz]=fx;
            key[sz]=x;
            pushup(fx);
            splay(sz);
            return ;
        }
    }
}
/*
有人问：
qwq很想知道为什么find操作也要splay操作呢？如果del要用的话直接splay（x）是不是就可以了

原博客答：
呃不不不这个貌似不是随便splay以下就可以的 首先find之后的splay就是将找到的这个点转到根，
当然你不加这个应该是也可以，只不过这道题加上的话对于这一堆操作来说比较方便，不过一般来说转一转splay的
平衡性会好一点（当然也不要转得太多了就tle了...） 但是del之前直接splay(x)要视情况而定，关键在于分清楚
“点的编号”和“点的权值”这两个概念。如果你已经知道了该转的点的编号，当然可以直接splay(x)，但是如果你只
知道应该splay的点的权值，你需要在树里find到这个权值的点的编号，然后再splay 其实最后splay写起来都是非
常灵活的，而且有可能一个点带若干个权之类的。对于初学者的建议就是先把一些最简单的情况搞清楚，比如说一
个编号一个权的这种，然后慢慢地多做题就能运用得非常熟练了。最好的方法就是多画画树自己转一转，对之后
复杂题目的调试也非常有益

我说：
我在洛谷上得模板题上交了一下rnk里面不带splay(now)的，一共12个样例，就对了两个样例。错了一个样例，其他全TLE

我解释：
为什么作者解释可以删去，但是删过之后还错了。因为它的代码中函数之前是相互联系的
就比如它调用rnk(x)函数之后就已经认为x为平衡树树根，然后直接对它进行下一步操作(这个假设在del函数里面)

如果你光删了rnk(x)里面的splay()，你肯定还要改其他地方代码。。。。。。
*/
int rnk(int x)  //查询x的排名
{
    int now=rt,ans=0;
    while(1)
    {
        if(x<key[now]) now=ch[now][0];
        else
        {
            ans+=sizes[ch[now][0]];
            if(x==key[now])
            {
                splay(now); //这个splay是为了后面函数的调用提供前提条件
//就比如pre函数的前提条件就是x（x是我们要求谁的前驱，那个谁就是x）已经在平衡树树根
                return ans+1;
            }
            ans+=cnt[now];  //cnt代表now这个位置值（key[now]）出现了几次
            now=ch[now][1];
        }
    }
}
int kth(int x)
{
    int now=rt;
    while(1)
    {
        if(ch[now][0] && x<=sizes[ch[now][0]])
        {
            //满足这个条件就说明它在左子树上
            now=ch[now][0];
        }
        else
        {
            int temp=sizes[ch[now][0]]+cnt[now];
            if(x<=temp) //这个temp是now左子树权值和now节点权值之和
                return key[now]; //进到这个判断里面说明他不在左子树又不在右子树，那就是now节点了
            x-=temp;
            now=ch[now][1];
        }
    }
}
int pre()//由于进行splay后，x已经到了根节点的位置
{
    //求x的前驱其实就是求x的左子树的最右边的一个结点
//为什么呢，因为这是平衡树（带有二叉排序树特点），根据二叉排序树中序遍历结果我么可以知道，一个数的前序就在
//x的左子树的最右边的一个结点
    int now=ch[rt][0];
    while(ch[now][1]) now=ch[now][1];
    return now;
}
int next()
{
    //求后继是求x的右子树的最左边一个结点
//为什么呢，因为这是平衡树（带有二叉排序树特点），根据二叉排序树中序遍历结果我么可以知道，一个数的前序就在
//x的右子树的最左边一个结点
    int now=ch[rt][1];
    while(ch[now][0])  now=ch[now][0];
    return now;
}
/*
删除操作是最后一个稍微有点麻烦的操作。
step 1：随便find一下x。目的是：将x旋转到根。
step 2：那么现在x就是根了。如果cnt[root]>1，即不只有一个x的话，直接-1返回。
step 3：如果root并没有孩子，就说名树上只有一个x而已，直接clear返回。
step 4：如果root只有左儿子或者右儿子，那么直接clear root，然后把唯一的儿子当作根就可以了（f赋0，root赋为唯一的儿子）
剩下的就是它有两个儿子的情况。
step 5：我们找到新根，也就是x的前驱（x左子树最大的一个点），将它旋转到根。然后将原来x的右子树接到新根的
右子树上（注意这个操作需要改变父子关系）。这实际上就把x删除了。不要忘了update新根。
*/
void del(int x)
{
    rnk(x);
    if(cnt[rt]>1)//如果这个位置权值大于1，那就不用删除这个点
    {
        cnt[rt]--;
        pushup(rt);
        return;
    }
    if(!ch[rt][0] && !ch[rt][1]) //这个就代表平衡树只有一个节点
    {
        clears(rt);
        rt=0;
        return;
    }
    if(!ch[rt][0]) //只有左儿子，树根只有左儿子那就把树根直接删了就行
    { //然后左儿子这棵子树变成新的平衡树
        int frt=rt;
        rt=ch[rt][1];
        f[rt]=0;
        clears(frt);
        return;
    }
    else if(!ch[rt][1]) //只有右儿子，和上面差不多
    {
        int frt=rt;
        rt=ch[rt][0];
        f[rt]=0;
        clears(frt);
        return;
    }
    int frt=rt;
    int leftbig=pre();
    splay(leftbig); //让前驱做新根
    ch[rt][1]=ch[frt][1];  //这个frt指向的还是之前的根节点
    /*
    看着一点的时候就会发现，数在数组里面的位置一直没有改变，平衡树旋转改变的是根节点儿子数组ch[x][]指向的值
    */
    f[ch[frt][1]]=rt;
    clears(frt);
    pushup(rt);
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        int type,k;
        scanf("%d%d",&type,&k);
        if (type==1) inserts(k);
        if (type==2) del(k);
        if (type==3) printf("%d
",rnk(k));
        if (type==4) printf("%d
",kth(k));
        if (type==5)
        {
            inserts(k);
            //插入操作中存在splay操作，这样的话插入之后平衡树树根就是k
            printf("%d
",key[pre()]);
            del(k);
        }
        if (type==6)
        {
            inserts(k);
            printf("%d
",key[next()]);
            del(k);
        }
    }
    printf("%d %d %d %d
",sz,sizes[1],sizes[2],sizes[3]);
    return 0;
}