Description
我们定义“区间的价值”为一段区间的最大值 * 最小值。
一个区间左端点在L，右端点在R，那么该区间的长度为(R-L+1)。
现在聪明的杰西想要知道，对于长度为k的区间，最大价值的区间价值是多少。
当然，由于这个问题过于简单。
我们肯定得加强一下。
我们想要知道的是，对于长度为1~n的区间，最大价值的区间价值分别是多少。
样例解释：
长度为1的最优区间为2-2 答案为6 * 6
长度为2的最优区间为4-5 答案为4 * 4
长度为3的最优区间为2-4 答案为2 * 6
长度为4的最优区间为2-5 答案为2 * 6
长度为5的最优区间为1-5 答案为1 * 6
Input
单组测试数据
第一行一个数n(1<=n<=100000)。
第二行n个正整数(1<=ai<=10^9)，下标从1开始。
由于某种不可抗力，ai的值将会是1~10^9内随机的一个数。（除了样例）
Output
输出共n行，第i行表示区间长度为i的区间中最大的区间价值。
Input示例
5
1 6 2 4 4
Output示例
36
16
12
12
6
题解：
定义区间价值为区间最小值与最大值的乘积，求长度为1,2,…,n的区间最大值。n<=100,000，保证序列随机。
当前长度为k区间，[l,r]最大值最小值对应覆盖一个区间，当r到达下一个区间时最大值或者最小值就会变化，但是不会变的太多，因为数据随机。所以预处理ST表快速查询区间最大值最小值的下标，预处理每个位置i后面第一个比他大maxn[i]和比他小的下标minn[i]。对于当前区间[l,r]最大值下标为a,最小值下标为b,下一次的右端点就是min{maxn[a],minn[b],a+k,b+k}。
然后就跑过了。原因不明，复杂度无法证明。
code
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
void Read(int& x){
char ch; while(ch=getchar(),ch<'0'||ch>'9');
x=ch-'0'; while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0';
}
int n,cnt;
int A[100010],D[100010];
struct Node{
int val,id;
bool operator < (const Node& a)const{return val<a.val;}
}B[100010];
int Minn[100010][19],Maxn[100010][19];
int minn[100010],maxn[100010];
int Tree1[100010],Tree2[100010],Table[100010];
const int INF=0x7f7f7f7f;
void Insert(int i,int x){
for(int j=i;j<=cnt;j+=(j&(-j))) Tree1[j]=min(Tree1[j],x);
for(int j=cnt-i+1;j<=cnt;j+=(j&(-j))) Tree2[j]=min(Tree2[j],x);
}
int QueryMax(int i){
int c=INF; for(i=cnt-i+1;i;i-=(i&(-i))) c=min(c,Tree2[i]);
return c;
}
int QueryMin(int i){
int c=INF; for(;i;i-=(i&(-i))) c=min(c,Tree1[i]);
return c;
}
void Init(){
for(int i=1;i<=n;++i){
if((i>>Table[i-1])&1) Table[i]=Table[i-1];
else Table[i]=Table[i-1]+1;
B[i].val=A[i],B[i].id=i;
Tree1[i]=Tree2[i]=INF;
}
sort(B+1,B+1+n);
cnt=1; A[B[1].id]=cnt;
for(int i=2;i<=n;A[B[i].id]=cnt,++i)
if(B[i].val!=B[i-1].val) ++cnt;
for(int i=n;i>=1;--i){
maxn[i]=QueryMax(A[i]+1);
minn[i]=QueryMin(A[i]-1);
Insert(A[i],i);
Maxn[i][0]=i;
Minn[i][0]=i;
for(int j=1;j<19;++j){
if(i+(1<<(j-1))<=n){
if(A[Maxn[i][j-1]]>A[Maxn[i+(1<<(j-1))][j-1]]) Maxn[i][j]=Maxn[i][j-1];
else Maxn[i][j]=Maxn[i+(1<<(j-1))][j-1];
if(A[Minn[i][j-1]]<A[Minn[i+(1<<(j-1))][j-1]]) Minn[i][j]=Minn[i][j-1];
else Minn[i][j]=Minn[i+(1<<(j-1))][j-1];
}
else{
Maxn[i][j]=Maxn[i][j-1];
Minn[i][j]=Minn[i][j-1];
}
}
}
}
inline int queryMax(int l,int r){
int len=Table[r-l+1];
if(A[Maxn[l][len]]<A[Maxn[r-(1<<len)+1][len]]) return Maxn[r-(1<<len)+1][len];
else return Maxn[l][len];
}
inline int queryMin(int l,int r){
int len=Table[r-l+1];
if(A[Minn[l][len]]>A[Minn[r-(1<<len)+1][len]]) return Minn[r-(1<<len)+1][len];
else return Minn[l][len];
}
int main(){
Read(n);
for(int i=1;i<=n;++i) Read(A[i]),D[i]=A[i];
Init();
for(int k=1;k<=n;++k){
int l=1,r=k,a,b,c,d;
LL ans=0;
while(r<=n){
l=r-k+1;
a=queryMax(l,r);
b=queryMin(l,r);
ans=max(ans,(LL)D[a]*D[b]);
c=maxn[a],d=minn[b];
a+=k,b+=k;
r=min(min(c,d),min(a,b));
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
题解给的做法是这样的。
一个数向右一直选取比他大的数并更新其本身，这样的操作次数是O(logn)的。
证明详请看题解。
有人说题解的证明是伪证，他的证明在这里：讨论。
更详细的讨论在这里：讨论帖。
定义F[i]表示长度为i的区间最大值，那么有结论F[i]>=F[i+1]。这是显然的，可以从子结构的角度考虑。
定义pre[i],suc[i]表示向前向后第一个比i位置的数小的数的位置。
我们枚举区间最大值，然后向左向右同时跳pre,suc去找最小值是谁，这样的复杂度是\(O(logn\times logn)\)的。
所以我们枚举一个i表示当最大值可能为i。然后从i开始分别向左向右跳pre,suc，更新可能以i为最大值，min(A[l],A[r])为最小值的最大区间长度，这样的复杂度为\(O(nlog^2n)\)。
最后，在更新一遍F[i]=max(F[i],F[i+1])。
最终正确性有保证，但是过程中的F[i]不一定就是最优答案，明白这个就好理解了。
code
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
void Read(int& x){
char ch; while(ch=getchar(),ch<'0'||ch>'9');
x=ch-'0'; while(ch=getchar(),ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0';
}
int n,A[100010];
struct Node{
int val,id;
Node(int a=0,int b=0){val=a,id=b;}
}sta[100010];
int siz=0,Pre[100010],Suc[100010];
LL F[100010];
int main(){
Read(n);
for(int i=1;i<=n;++i) Read(A[i]);
for(int i=1;i<=n;++i){
while(siz&&sta[siz].val>A[i]) --siz;
if(siz) Pre[i]=sta[siz].id;
else Pre[i]=0;
sta[++siz]=Node(A[i],i);
}
siz=0;
for(int i=n;i>=1;--i){
while(siz&&sta[siz].val>A[i]) --siz;
if(siz) Suc[i]=sta[siz].id;
else Suc[i]=n+1;
sta[++siz]=Node(A[i],i);
}
for(int i=1;i<=n;++i){
int l=i,r=i;
F[r-l+1]=max(F[r-l+1],(LL)A[i]*min(A[l],A[r]));
for(;l;l=Pre[l]){
for(int x=r;x<=n;x=Suc[x]){
F[Suc[x]-1-Pre[l]]=max(F[Suc[x]-1-Pre[l]],(LL)A[i]*min(A[x],A[l]));
}
}
}
for(int i=n;i>=1;--i) F[i]=max(F[i],F[i+1]);
for(int i=1;i<=n;++i) printf("%lld\n",F[i]);
getchar(); getchar();
return 0;
}
在讨论帖中有人提出了严格O(n)的做法，而且不依赖于随机数据，有兴趣的可以去参考一下。