整数拆分--

题目描述

一个整数总可以拆分为2的幂的和，例如： 7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1 总共有六种不同的拆分方式。 再比如：4可以拆分成：4 = 4，4 = 1 + 1 + 1 + 1，4 = 2 + 2，4=1+1+2。 用f(n)表示n的不同拆分的种数，例如f(7)=6. 要求编写程序，读入n(不超过1000000)，输出f(n)%1000000000。

输入描述:

每组输入包括一个整数：N(1<=N<=1000000)。

输出描述:

对于每组数据，输出f(n)%1000000000。

分析：

dp[i]表示f(i)
状态转移方程
i是奇数：dp[i]=dp[i-1]
i是偶数：dp[i]=dp[i-1]+dp[i/2] 其中dp[i-1]表示拆分有1的种数，dp[i/2]表示拆分没有1的种数

记f(n)为n的划分数，我们有递推公式：

 

    f(2m + 1) = f(2m)，

　　　　f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

初始条件：f(1) = 1。

 

    证明:

    证明的要点是考虑划分中是否有1。

 

    记:

A(n) = n的所有划分组成的集合，

B(n) = n的所有含有1的划分组成的集合，

C(n) = n的所有不含1的划分组成的集合，

则有: A(n) = B(n)∪C(n)。

 

    又记:

f(n) = A(n)中元素的个数，

g(n) = B(n)中元素的个数，

h(n) = C(n)中元素的个数，

易知: f(n) = g(n) + h(n)。

 

    以上记号的具体例子见文末。

 

    我们先来证明: f(2m + 1) = f(2m)，

首先，2m + 1 的每个划分中至少有一个1，去掉这个1，就得到 2m 的一个划分，故 f(2m + 1)≤f(2m)。

其次，2m 的每个划分加上个1，就构成了 2m + 1 的一个划分，故 f(2m)≤f(2m + 1)。

综上，f(2m + 1) = f(2m)。

 

    接着我们要证明: f(2m) = f(2m - 1) + f(m)，

把 B(2m) 中的划分中的1去掉一个，就得到 A(2m - 1) 中的一个划分，故 g(2m)≤f(2m - 1)。

把 A(2m - 1) 中的划分加上一个1，就得到 B(2m) 中的一个划分，故 f(2m - 1)≤g(2m)。

综上，g(2m) = f(2m - 1)。

 

    把 C(2m) 中的划分的元素都除以2，就得到 A(m) 中的一个划分，故 h(2m)≤f(m)。

把 A(m) 中的划分的元素都乘2，就得到 C(2m) 中的一个划分，故 f(m)≤h(2m)。

综上，h(2m) = f(m)。

 

    所以: f(2m) = g(2m) + h(2m) = f(2m - 1) + f(m)。  

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f
#define PI acos(-1)
int dp[1000001];
long f2n(long n)
{
 for(long i=1;i<=n;i++)
 {
   if(i==1)dp[i]=1;
      else if(i%2)dp[i]=dp[i-1];
        else dp[i]=(dp[i-1]+dp[i/2])%1000000000;
 }
 return dp[n];
}

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n){
        cout<<f2n(n)<<endl;
    }
    return 0;
}